Considere o sistema linear nas variáveis x, y, z dado por:
c x-2 y-4 z=2 a x+2 y-a z=0 x+2 a y-10 z=b +[ccc 1 & -2 & -4 1 & 2 & -1 1 & 2 & -10 ]=[l 2 0 1 ]
Determine para quais valores de a e b o sistema de equações dado satisfaz as seguintes condições:
(a) (1,0 ponto) Encontre uma forma escalonada do sistema que permita analisar os casos descritos abaixo.

Passo 1

O enunciado dá o sistema nas variáveis
e pede uma forma escalonada que deixe claros os pivôs em função de .

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos das linhas 2 e 3 usando a linha 1:

Passo 3

Assumindo aneq -1 (para que o pivô da coluna y não seja zero), eliminamos o y de L3 subtraindo L2:
[ccc|c 1 & -2 & -4 & 2 0 & 2(1+a) & 3a & -2a 0 & 0 & -6 - 3a & (b-2) - (-2a) ] = [ccc|c 1 & -2 & -4 & 2 0 & 2(1+a) & 3a & -2a 0 & 0 & -3(a+2) & b + 2a - 2 ]

Resposta

A forma escalonada do sistema é
[ccc|c 1 & -2 & -4 & 2 0 & 2(1+a) & 3a & -2a 0 & 0 & -3(a+2) & b + 2a - 2 ],
com pivôs nas posições (1,1), (2,2) (se aneq -1) e (3,3) (se aneq -2).

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