Seja o operador linear T: IR^3 IR^3 definido pela matriz:
(ccc 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 )
Mostrar que T é um isomorfismo.
Determinar a lei que define o operador T^-1.
Utilizar a matriz de T ou de T^-1 para obter o vetor v in I R^3 tal que T(v)= (2,-3,0).
3) Mostrar que o operador linear, no IR ^3, definido pela matriz
(lll 1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 5 & 7 )
não é inversível. Determinar v in I R^3 tal que T(v)=(6,9,15).

Passo 1

O enunciado define um operador linear T: R^3to R^3 cuja matriz em relação à base padrão é
A= 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1
Precisamos mostrar que T é isomorfismo (logo A invertível), achar a lei de T^-1, e resolver T(v)=(2,-3,0). Depois, para o operador dado por
B= 1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 5 & 7 ,
mostrar que não é inversível e resolver B(v)=(6,9,15).

Passo 2

Para verificar que T é isomorfismo, calculamos o determinante de A.
det(A) =1cdotdet-1&10&-1 -0cdotl[dotsr] +1cdotdet2&-10&0 =1cdot(1)+1cdot(0)=1neq0
Como det(A)neq0, A é invertível e T é isomorfismo.

Passo 3

Para achar
Da última equação vem . E em resulta
Logo a lei de é

Passo 4

Aplicando T^-1 ao vetor (2,-3,0) temos
v=T^-1(2,-3,0) =l(2+0,;2cdot2-(-3)+0,;-0r) =(2,7,0)
Logo T(v)=(2,-3,0) é resolvido por v=(2,7,0).

Passo 5

Para o segundo operador, calculamos
det(B) =1cdotdet3&45&7 -2cdotdet2&43&7 +3cdotdet2&33&5 =1cdot1-2cdot2+3cdot1=0
Como det(B)=0, B não é invertível.

Passo 6

Para resolver
Deste sistema segue , compatível com todas as equações. Por exemplo, escolhendo
isto é, satisfaz .

Resposta

T é isomorfismo porque det(A)=1neq0.
A lei de T^-1 é
T^-1(y1,y2,y3) =l(y1+y3,;2y1 - y2 + y3,;-y3r)
O vetor v tal que T(v)=(2,-3,0) é v=(2,7,0).
O segundo operador não é inversível pois det(B)=0.
Uma solução de B(v)=(6,9,15) é v=(1,1,1).

Exercícios relacionados