Consideremos as seguintes bases do I R^2: A=(1,1),(0,-1) e B=(2,-3),(-3,5).
a) Determinar a matriz-mudança de base [I]B^A.
b) Utilizar a matriz obtida do item a) para calcular vB, sendo vA=(2,3).
c) Determinar a matriz-mudança de base de B para A.
9) Repetir o problema 8 para as bases A=(3,-1),(1,-2) e B= (3,2),(2,2), sendo vA=(4,3).

Passo 1

Resumimos o enunciado: no problema 8 temos as bases
;A=(1,1),(0,-1) e ;B=(2,-3),(-3,5) de R^2. Precisamos achar
a matriz de mudança de base de A para B, aplicá-la a vA=(2,3) e depois obter a inversa (mudança de B para A).
No problema 9 repetimos o mesmo processo para
;A=(3,-1),(1,-2), ;B=(3,2),(2,2) e vA=(4,3).

Passo 2

Para o caso 8(a), achamos as coordenadas de (1,1) e (0,-1) na base B.
Resolvendo
(1,1)=x(2,-3)+y(-3,5)
obtém-se x=8, y=5.
Para
(0,-1)=x(2,-3)+y(-3,5)
obtemos x=-3, y=-2.

Passo 3

Com isso, a matriz de mudança de base de A para B é
[I]B^A =8 & -35 & -2

Passo 4

Para o item 8(b), multiplicamos essa matriz pelo vetor ,vA=(2,3). Logo
vB = [I]B^A,vA = 8 & -35 & -2 23 = 74

Passo 5

No item 8(c), a matriz de mudança de base de B para A é a inversa de [I]B^A.
Calculando o determinante det=-1 e invertendo,
[I]A^B =l([I]B^Ar)^-1 =2 & -35 & -8

Passo 6

Agora repetimos para o problema 9. Primeiro ( 9a), expressamos (3,-1) e (1,-2) na base B=(3,2),(2,2).
Resolvendo
(3,-1)=x(3,2)+y(2,2)Rightarrow (x,y)=(4,-tfrac92),
(1,-2)=x(3,2)+y(2,2)Rightarrow (x,y)=(3,-4)

Passo 7

Assim a matriz de mudança de base de A para B no problema 9 é
[I]B^A =4 & 3[4pt]-tfrac92 & -4 ]

Passo 8

No item 9(b), aplicamos essa matriz a vA=(4,3):
vB =4 & 3[4pt]-tfrac92 & -4 43 =25-30 ]

Passo 9

Finalmente, no 9(c), a matriz inversa (mudança de B para A) tem determinante -tfrac52 e
[I]A^B =l([I]B^Ar)^-1 =85 & 65[4pt]-95 & -85 ]

Resposta

8(a)
[I]B^A=8 & -35 & -2
8(b)
vB=(7,4)
8(c)
[I]A^B=2 & -35 & -8
9(a)
[I]B^A=4 & 3[4pt]-tfrac92 & -4
9(b)
vB=(25,-30)
9(c)
[I]A^B=85 & 65[4pt]-95 & -85 ]

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