Seja A uma matriz 3 times 3 invertível dada por:
A=[ccc 2 & -1 & 0 3 & 4 & 1 0 & -2 & 5 ] cdot[ccc 2 & 3 & 0 -1 & 4 & -2 0 & 1 & 5 ]^-1 [ccc -2 & -3 & 0 1 & -4 & 2 0 & -1 & -5 ]
Encontre explicitamente a matriz (A^T)^-1.

Passo 1

O enunciado dá diretamente a matriz
A = -2 & -3 & 0 [6pt] 1 & -4 & 2 [6pt] 0 & -1 & -5
e pede para calcular (A^T)^-1. Para isso vamos usar a propriedade
(A^T)^-1 ;=; l(A^-1r)^T
e, em seguida, determinar A^-1 pelo método da adjunta (adjugate).]

Passo 2

Calculemos primeiro o determinante de A pela expansão na primeira linha:
det(A) = (-2)-4 & 2 -1 & -5 -(-3)1 & 2 0 & -5 +0cdotcdots
det(A) &= (-2)l((-4)(-5)-2(-1)r) -(-3)l(1cdot(-5)-2cdot0r) &= (-2)(20+2) -(-3)(-5) &= (-2)cdot22 ;-; 3cdot(-5) &= -44 ;-;15 = -59

Passo 3

Agora montamos a matriz dos cofatores C = (Cij), em que cada
Cij = (-1)^i+jdetl(A com linha i e coluna j suprimidasr)
O resultado é
C = 22 & 5 & -1 -15 & 10 & -2 -6 & 4 & 11
A adjunta (adjugate) de A é adj(A)=C^T, ou seja
adj(A) = 22 & -15 & -6 [3pt] 5 & 10 & 4 [3pt] -1 & -2 & 11
Logo
A^-1 = 1det(A),adj(A) = -159 22 & -15 & -6 [3pt] 5 & 10 & 4 [3pt] -1 & -2 & 11 ]

Passo 4

Aplicando a propriedade (A^T)^-1=(A^-1)^T, basta transpor A^-1:
(A^T)^-1 = l(A^-1r)^T = -159 22 & 5 & -1 [3pt] -15 & 10 & -2 [3pt] -6 & 4 & 11 ]

Resposta

(A^T)^-1 = -159 22 & 5 & -1 [3pt] -15 & 10 & -2 [3pt] -6 & 4 & 11 = 159 -22 & -5 & 1 [3pt] 15 & -10 & 2 [3pt] 6 & -4 & -11 ]

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