Encontre o núcleo e a imagem de . Verifique o Teorema do Núcleo e da Imagem…
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que manda vetores do plano para polinômios de grau até 2. O enunciado nos dá como e . Nosso objetivo aqui é encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação e depois verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, espaço nulo (núcleo) e espaço gerado (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o polinômio zero em . Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos expressar qualquer vetor em como uma combinação linear dos vetores dados, e . Então, seja
Aplicando a transformação , temos:
Simplificando isso:
Passo 4
Para encontrar o núcleo de , vamos igualar a zero:
Como dois polinômios são iguais se e somente se seus coeficientes correspondentes são iguais, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, a = 0 .
Da segunda equação, substituindo a = 0 , temos 0 - b = 0 , então b = 0 .
A terceira equação já confirma que b = 0 .
Portanto, a única solução é a = 0 e b = 0 . Isso significa que o núcleo de T contém apenas o vetor nulo.
Passo 6
Assim, concluímos que:
ker(T) = (0,0)
Isso indica que T é injetora, já que o núcleo contém apenas o vetor nulo.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter aplicando T em vetores de R^2 . Já vimos que:
T(v) = a + (a - b)x + b x^2
Onde a e b são escalares reais. Então, qualquer polinômio na imagem de T pode ser escrito como:
b x^2 + (a - b)x + a
Passo 8
Para descrever a imagem de forma mais clara, podemos ver quais combinações de x^2 , x e 1 são possíveis. Observando a expressão b x^2 + (a - b)x + a , percebemos que:
O coeficiente de x^2 é b .
O coeficiente de x é a - b .
O termo constante é a .
Assim, a imagem de T é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 que podem ser escritos dessa forma.
Passo 9
Podemos reescrever a expressão b x^2 + (a - b)x + a de uma maneira que facilita a identificação das bases da imagem. Vamos fatorar a :
b x^2 + a (1 + x) - b x
Notamos que temos os polinômios 1 + x e x^2 - x , que são as imagens dos vetores dados. Então, a imagem de T é o espaço gerado por esses dois polinômios.
Passo 10
Portanto, a imagem de T é:
im(T) = span 1 + x, x^2 - x
Isso significa que qualquer polinômio na imagem de T pode ser escrito como uma combinação linear de 1 + x e x^2 - x .
Passo 11
Por último, vamos verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz que:
dim(R^2) = dim(im(T)) + dim(ker(T))
Sabemos que dim(R^2) = 2 , e vimos que dim(ker(T)) = 0 (já que só tem o vetor nulo). Então:
2 = dim(im(T)) + 0
dim(im(T)) = 2
Resposta
O núcleo de T é apenas o vetor nulo, ou seja, ker(T) = (0,0) , e a imagem de T é o espaço gerado pelos polinômios 1 + x e x^2 - x , ou seja, im(T) = span 1 + x, x^2 - x . Além disso, o Teorema do Núcleo e da Imagem é verificado, já que 2 = 2 + 0 .