Seja T: R^2 P2(R) a transformação linear tal que:
T(1,2)=1+x, T(2,1)=x^2-x
Encontre o núcleo e a imagem de T. Verifique o Teorema do Núcleo e da Imagem…

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^2 P2(R) que manda vetores do plano para polinômios de grau até 2. O enunciado nos dá como T(1,2) = 1 + x e T(2,1) = x^2 - x . Nosso objetivo aqui é encontrar o núcleo e a imagem dessa transformação e depois verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, espaço nulo (núcleo) e espaço gerado (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de T é o conjunto de todos os vetores v em R^2 que são enviados para o polinômio zero em P2(R) . Ou seja,
ker(T) = v in R^2 mid T(v) = 0

Passo 3

Agora, vamos expressar qualquer vetor v em R^2 como uma combinação linear dos vetores dados, (1,2) e (2,1) . Então, seja
v = a(1,2) + b(2,1)
Aplicando a transformação T , temos:
T(v) = aT(1,2) + bT(2,1) = a(1 + x) + b(x^2 - x)
Simplificando isso:
T(v) = a + a x + b x^2 - b x
T(v) = a + (a - b)x + b x^2

Passo 4

Para encontrar o núcleo de T , vamos igualar T(v) a zero:
a + (a - b)x + b x^2 = 0
Como dois polinômios são iguais se e somente se seus coeficientes correspondentes são iguais, temos o seguinte sistema de equações:
a = 0 a - b = 0 b = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, a = 0 .
  2. Da segunda equação, substituindo a = 0 , temos 0 - b = 0 , então b = 0 .
  3. A terceira equação já confirma que b = 0 .
Portanto, a única solução é a = 0 e b = 0 . Isso significa que o núcleo de T contém apenas o vetor nulo.

Passo 6

Assim, concluímos que:
ker(T) = (0,0)
Isso indica que T é injetora, já que o núcleo contém apenas o vetor nulo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter aplicando T em vetores de R^2 . Já vimos que:
T(v) = a + (a - b)x + b x^2
Onde a e b são escalares reais. Então, qualquer polinômio na imagem de T pode ser escrito como:
b x^2 + (a - b)x + a

Passo 8

Para descrever a imagem de forma mais clara, podemos ver quais combinações de x^2 , x e 1 são possíveis. Observando a expressão b x^2 + (a - b)x + a , percebemos que:
  • O coeficiente de x^2 é b .
  • O coeficiente de x é a - b .
  • O termo constante é a .
Assim, a imagem de T é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 que podem ser escritos dessa forma.

Passo 9

Podemos reescrever a expressão b x^2 + (a - b)x + a de uma maneira que facilita a identificação das bases da imagem. Vamos fatorar a :
b x^2 + a (1 + x) - b x
Notamos que temos os polinômios 1 + x e x^2 - x , que são as imagens dos vetores dados. Então, a imagem de T é o espaço gerado por esses dois polinômios.

Passo 10

Portanto, a imagem de T é:
im(T) = span 1 + x, x^2 - x
Isso significa que qualquer polinômio na imagem de T pode ser escrito como uma combinação linear de 1 + x e x^2 - x .

Passo 11

Por último, vamos verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz que:
dim(R^2) = dim(im(T)) + dim(ker(T))
Sabemos que dim(R^2) = 2 , e vimos que dim(ker(T)) = 0 (já que só tem o vetor nulo). Então:
2 = dim(im(T)) + 0
dim(im(T)) = 2

Resposta

O núcleo de T é apenas o vetor nulo, ou seja, ker(T) = (0,0) , e a imagem de T é o espaço gerado pelos polinômios 1 + x e x^2 - x , ou seja, im(T) = span 1 + x, x^2 - x . Além disso, o Teorema do Núcleo e da Imagem é verificado, já que 2 = 2 + 0 .

Exercícios relacionados