Determine a matriz , onde é a base ordenada de e é a basé ordenada de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear , que transforma vetores de em polinômios de grau no máximo 2. O enunciado nos dá como base em e em . Precisamos encontrar a matriz da transformação .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear, precisamos ver como a transformação age sobre cada vetor da base . A matriz terá colunas que são as coordenadas dos vetores transformados na base .
Passo 3
Vamos aplicar a transformação nos vetores da base :
Passo 4
Agora, precisamos expressar cada um desses resultados como combinações lineares da base .
Para :
Então, as coordenadas são .
Para T(2,1) = x^2 - x :
x^2 - x = 0 cdot 1 + (-1) cdot x + 1 cdot x^2
Então, as coordenadas são 0 -1 1 .
Passo 5
A matriz [T]beta^gamma é formada colocando essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores da base beta: