Seja T: R^2 P2(R) a transformação linear tal que:
T(1,2)=1+x, T(2,1)=x^2-x
Determine a matriz [Tbeta^gamma, onde beta=(1,2),(2,1) é a base ordenada de R^2 e gamma=1, x, x^2 é a basé ordenada de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear T: R^2 P2(R) , que transforma vetores de R^2 em polinômios de grau no máximo 2. O enunciado nos dá como base beta = (1,2), (2,1) em R^2 e gamma = 1, x, x^2 em P2(R). Precisamos encontrar a matriz da transformação [T]beta^gamma .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear, precisamos ver como a transformação age sobre cada vetor da base beta. A matriz [T]beta^gamma terá colunas que são as coordenadas dos vetores transformados na base gamma.

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T nos vetores da base beta:
  • T(1,2) = 1 + x
  • T(2,1) = x^2 - x

Passo 4

Agora, precisamos expressar cada um desses resultados como combinações lineares da base gamma = 1, x, x^2.
Para T(1,2) = 1 + x :
1 + x = 1 cdot 1 + 1 cdot x + 0 cdot x^2
Então, as coordenadas são 1 1 0 .
Para T(2,1) = x^2 - x :
x^2 - x = 0 cdot 1 + (-1) cdot x + 1 cdot x^2
Então, as coordenadas são 0 -1 1 .

Passo 5

A matriz [T]beta^gamma é formada colocando essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores da base beta:
[T]beta^gamma = 1 & 0 1 & -1 0 & 1

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta^gamma é:
[T]beta^gamma = 1 & 0 1 & -1 0 & 1

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