Q3: Considere o sistema linear A \vec{x}=\vec{b}. Após aplicar algumas operações para escalonar a matriz ampliada do sistema obtemos a matriz E, de forma que:
[A \mid \vec{b}] \sim B=\left[\begin{array}{rrrrrrr|r} -1 & -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & -1 \end{array}\right]
A dimensão do conjunto-solução do sistema é:
(A) 2
B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7

Passo 1

O enunciado dá um sistema A\vec x=\vec b em 7 variáveis e, após escalonamento, obteve-se a matriz aumentada equivalente
B=\left[\begin{array}{rrrrrrr|r} -1 & -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & -1 \end{array}\right].
Precisamos determinar a dimensão do conjunto-solução, que em Álgebra Linear se obtém por
\dim(\text{solução}) = \text{nº de variáveis livres} = n - \rank(A),
onde n=7.

Passo 2

Na forma escalonada vemos pivôs em:
– primeira linha, coluna 1 x_1;
– segunda linha, coluna 5 x_5;
– terceira linha, coluna 6 x_6.
Logo \rank(A)=3.

Passo 3

Como há n=7 variáveis e \rank(A)=3, o número de variáveis livres (e portanto a dimensão da solução) é
7 - 3 = 4.

Resposta

4

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