Q1: Resolva o sistema abaixo representado pela sua matriz aumentada e determine o valor da 1^{a} incoggnita.
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -2 & -3 \\\\ -1 & 2 & 0 & -1 \\\\ -3 & 6 & 1 & -4 \\\\ 2 & -1 & -5 & 1 \end{array}\right]
(A) 2
(B) -3
(C) -2
(D) 4
(E) -1
(F) 3

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em três incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3}), cuja matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -2 & -3 \\\\ -1 & 2 & 0 & -1 \\\\ -3 & 6 & 1 & -4 \\\\ 2 & -1 & -5 & 1 \end{array}\right]
Vamos usar eliminação de Gauss, isolando primeiro x_{1} e x_{2} em função de x_{3}, depois determinar x_{3} e enfim calcular as outras variáveis.

Passo 2

Das duas primeiras equações:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-2x_{3}=-3,\\\\ -\,x_{1}+2x_{2}= -1, \end{cases}
somando-as obtemos
3x_{2}-2x_{3}=-4 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{2x_{3}-4}{3}.
Usando esse x_{2} na segunda equação:
-\,x_{1}+2\cdot\frac{2x_{3}-4}{3}=-1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{4x_{3}-5}{3}.

Passo 3

Substituímos x_{1}=\frac{4x_{3}-5}{3} e x_{2}=\frac{2x_{3}-4}{3} na terceira equação
-3x_{1}+6x_{2}+x_{3}=-4.
Calculando:
-3\!\cdot\frac{4x_{3}-5}{3}+6\!\cdot\frac{2x_{3}-4}{3}+x_{3} =(-4x_{3}+5)+(4x_{3}-8)+x_{3} =x_{3}-3,
portanto
x_{3}-3=-4 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=-1.

Passo 4

Com x_{3}=-1, voltamos a
x_{2}=\frac{2(-1)-4}{3}=-2, \qquad x_{1}=\frac{4(-1)-5}{3}=-3.
Por fim, conferimos na quarta equação:
2x_{1}-x_{2}-5x_{3}=2(-3)-(-2)-5(-1)= -6+2+5=1,
que bate com o termo independente, mostrando que o sistema é consistente.

Resposta

A primeira incógnita vale -3, ou seja, alternativa (B).

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