Q4: Qual das equações abaixo tem como conjunto-solução:
\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 0 \end{array}\right]\right\}
(A) 2 x_{1}+x_{2}=6
(B) 2 x_{1}+x_{2}=4
(C) 2 x_{3}+x_{4}=3
(D) 2 x_{3}+x_{4}=4
(E) 2 x_{1}+x_{2}=5
(F) 2 x_{3}+x_{4}=5

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
\{\,x\in\mathbb{R}^4 \mid x = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix} + \span\bigl\{ \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} \bigr\}\}
e pede qual equação linear única define esse mesmo conjunto. Vamos usar representação paramétrica de conjunto afim e extrair a relação linear que sobra.

Passo 2

Escrevendo a,b,c\in\mathbb{R} como parâmetros, temos
x = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix} + a\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}
ou seja
\begin{cases} x_1 = 1 + a,\\\ x_2 = 2 - 2a,\\\ x_3 = 3 + 2c,\\\ x_4 = -1 + 4b. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações, a = x_1 - 1. Substituindo em x_2:
x_2 = 2 - 2(x_1 - 1) = 4 - 2x_1
Rearranjando dá
2x_1 + x_2 = 4.

Passo 4

Como b e c não aparecem nessa relação, x_3 e x_4 são livres e a única restrição linear é 2x_1 + x_2 = 4. Isso coincide com a alternativa (B).

Resposta

(B) 2x_{1} + x_{2} = 4

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