Considere um sistema LIT cuja resposta à entrada
x(t)=\left[\sigma^{-1}+\sigma^{-3 t}\right] u(t)
é
y(t)=\left[2 e^{-t}-2 e^{-4 t}\right] u(t)
(a) Encontre a resposta em frequência desse sistema.
(b) Determine a resposta ao impulso do sistema.
(c) Encontre a equação diferencial relacionando a entrada e a saída desse sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI causal cuja entrada
x(t) = \bigl(e^{-t} + e^{-3t}\bigr)\,u(t)
produz a saída
y(t) = \bigl(2e^{-t} - 2e^{-4t}\bigr)\,u(t).
Pede-se:
a) a resposta em frequência H(j\omega);
b) a resposta ao impulso h(t);
c) a equação diferencial que liga x(t) e y(t).
Vamos usar transformada de Laplace, propriedade de sistemas LTI e inversão por frações parciais.

Passo 2

Calcular as transformadas de Laplace de x(t) e y(t). Como \mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\}=1/(s+a), temos
X(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+3},
Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{2}{s+4}.

Passo 3

Determinar a função de transferência H(s)=Y(s)/X(s). Primeiro simplificamos Y(s) e X(s):
Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{2}{s+4} =\frac{2\bigl((s+4)-(s+1)\bigr)}{(s+1)(s+4)} =\frac{6}{(s+1)(s+4)},
X(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+3} =\frac{(s+3)+(s+1)}{(s+1)(s+3)} =\frac{2(s+2)}{(s+1)(s+3)}.
Logo
H(s) =\frac{Y(s)}{X(s)} =\frac{\displaystyle \frac{6}{(s+1)(s+4)}}{\displaystyle \frac{2(s+2)}{(s+1)(s+3)}} =\frac{6}{(s+1)(s+4)}\;\frac{(s+1)(s+3)}{2(s+2)} =\frac{3(s+3)}{(s+2)(s+4)}.

Passo 4

A resposta em frequência é H(j\omega)=H(s)\bigl|_{s=j\omega}, ou seja
H(j\omega) =\frac{3\,(j\omega+3)}{(j\omega+2)(j\omega+4)}.

Passo 5

Para achar h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} fazemos frações parciais:
\frac{3(s+3)}{(s+2)(s+4)} =\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+4}.
Temos
3(s+3)=A(s+4)+B(s+2).
Tomando s=-4 -3= -2B\Rightarrow B=3/2, e s=-2 3=2A\Rightarrow A=3/2.
Então
H(s)=\frac{3/2}{s+2}+\frac{3/2}{s+4} \quad\Longrightarrow\quad h(t)=\frac{3}{2}\bigl(e^{-2t}+e^{-4t}\bigr)\,u(t).

Passo 6

Da função de transferência em forma racional
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{3(s+3)}{(s+2)(s+4)},
multiplicamos em cruz:
(s+2)(s+4)\,Y(s)=3(s+3)\,X(s).
Em termos de derivadas, sY(s)\leftrightarrow y'(t) e s^2Y(s)\leftrightarrow y''(t), etc. Logo
(s^2+6s+8)\,Y(s)=3(s+3)\,X(s) \quad\Longrightarrow\quad y''(t)+6y'(t)+8y(t)=3x'(t)+9x(t).

Resposta

a) \displaystyle H(j\omega)=\dfrac{3\,(j\omega+3)}{(j\omega+2)(j\omega+4)}.
b) \displaystyle h(t)=\tfrac{3}{2}\bigl(e^{-2t}+e^{-4t}\bigr)\,u(t).
c) \displaystyle y''(t)+6y'(t)+8y(t)=3x'(t)+9x(t).

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