(a) Encontre a resposta em frequência desse sistema.
(b) Determine a resposta ao impulso do sistema.
(c) Encontre a equação diferencial relacionando a entrada e a saída desse sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema LTI causal cuja entrada
x(t) = \bigl(e^{-t} + e^{-3t}\bigr)\,u(t)
produz a saída
y(t) = \bigl(2e^{-t} - 2e^{-4t}\bigr)\,u(t).
Pede-se:
a) a resposta em frequência H(j\omega);
b) a resposta ao impulso h(t);
c) a equação diferencial que liga x(t) e y(t).
Vamos usar transformada de Laplace, propriedade de sistemas LTI e inversão por frações parciais.
Passo 2
Calcular as transformadas de Laplace de x(t) e y(t). Como \mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\}=1/(s+a), temos
X(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+3},
Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{2}{s+4}.
Passo 3
Determinar a função de transferência H(s)=Y(s)/X(s). Primeiro simplificamos Y(s) e X(s):
a) \displaystyle H(j\omega)=\dfrac{3\,(j\omega+3)}{(j\omega+2)(j\omega+4)}.
b) \displaystyle h(t)=\tfrac{3}{2}\bigl(e^{-2t}+e^{-4t}\bigr)\,u(t).
c) \displaystyle y''(t)+6y'(t)+8y(t)=3x'(t)+9x(t).