Convergência e Divergência) Quais das sequências a_{n} a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=(n+4)^{\frac{1}{n+4}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n}=(n+4)^{\frac{1}{n+4}}
e, caso ela convirja, determinar seu limite. O conteúdo aqui é limite de sequência e, para resolver, vamos usar a transformação logarítmica, que converte potências em produtos, facilitando o cálculo do limite.

Passo 2

Definimos
L=\lim_{n\to\infty}a_{n}
e, para encontrá-lo, consideramos o logaritmo natural de a_{n}:
\ln(a_{n})=\ln\bigl((n+4)^{\frac{1}{n+4}}\bigr) =\frac{1}{n+4}\,\ln(n+4).

Passo 3

Calculamos o limite de \ln(a_{n}). Como n+4\to\infty e sabemos que
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0,
podemos trocar x por n+4 e obter
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+4)}{n+4}=0.
Logo
\lim_{n\to\infty}\ln(a_{n})=0.

Passo 4

Como o logaritmo de a_{n} tende a zero, o próprio a_{n} tende a
\exp(0)=1.
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência (n+4)^{\frac{1}{n+4}} converge e seu limite é 1.

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