Convergência e Divergência) Quais das sequências a_{n} a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \Bigl(1 - \frac{1}{n}\Bigr)^{n}
e pede para estudar sua convergência e, se convergente, encontrar o limite. O conteúdo aqui é limites de sequências do tipo (1 + x/n)^{n} e a definição do número e.

Passo 2

Reescrevemos
a_{n} = \Bigl(1 - \frac{1}{n}\Bigr)^{n} = \Bigl(1 + \frac{-1}{n}\Bigr)^{n}.
É um resultado clássico que, para todo x\in\mathbb{R},
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \frac{x}{n}\Bigr)^{n} \;=\; e^{x}.

Passo 3

BastA aplicar esse resultado com x = -1:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \tfrac{-1}{n}\Bigr)^{n} = e^{-1} = \frac{1}{e}.

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência \,a_{n} converge e seu limite é \tfrac{1}{e}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1}{e}.

Exercícios relacionados