Seja [G) um grupo e x \in G. Se n \in \mathbb{Z} definimos x^{n} como segue:
x^{n}= \begin{cases}e & \text { se } n=0 \\\ x^{n-1} \cdot x & \text { se } n>0 \\\ \left(x^{-n}\right)^{-1} & \text { se } n<0\end{cases}
(a) Prove que (x^{m} \cdot x{n}=x{n+m} \quad \forall m, n \in \mathbb{Z}].

Passo 1

O enunciado dá: G\) é um grupo, \(x\in G\) e a potência \(x^{n}\) está definida para todo \(n\in\mathbb{Z}\) por \[x^{n}= \begin{cases}e & \text{se } n=0,\\[4pt] x^{n-1}\cdot x & \text{se } n>0,\\[4pt] \left(x^{-n}\right)^{-1} & \text{se } n<0. \end{cases}
A pergunta é: provar que
x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\quad\forall m,n\in\mathbb{Z}.
Informações relevantes que temos (listadas explicitamente):
  • G\] é grupo, logo a operação é associativa, existe elemento identidade \(e e todo elemento tem inverso.
  • A definição das potências dá sentido a x^{k} para todo inteiro k.
  • Precisamos provar a igualdade para todos os pares de inteiros (m,n).]

Passo 2

Estratégia inicial: primeiro vou provar o caso em que o segundo expoente é não-negativo ( n\ge 0), para todo m\in\mathbb{Z}. Esse caso é mais simples porque a definição de potências para expoentes positivos é recursiva à direita: x^{n+1}=x^{n}\cdot x. Vou provar por indução em n.
Lema (caso n\ge 0): para todo m\in\mathbb{Z} e todo n\in\mathbb{Z}_{\ge0} vale
x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}.
Prova do lema por indução em n:
Base n=0: pela definição x^{0}=e. Então
x^{m}\cdot x^{0}=x^{m}\cdot e=x^{m}.
Por outro lado x^{m+0}=x^{m}. Portanto a igualdade vale para n=0.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge 0 tenhamos, para todo m\in\mathbb{Z},
x^{m}\cdot x^{k}=x^{m+k}.
Quero provar que, para todo m, vale x^{m}\cdot x^{k+1}=x^{m+k+1}.
Começo usando a definição de potência para k+1:
x^{k+1}=x^{k}\cdot x.
Então, por associatividade da operação em G,
x^{m}\cdot x^{k+1}=x^{m}\cdot (x^{k}\cdot x)=(x^{m}\cdot x^{k})\cdot x.
Pelo hipóteses de indução x^{m}\cdot x^{k}=x^{m+k}. Substituindo:
(x^{m}\cdot x^{k})\cdot x = x^{m+k}\cdot x = x^{m+k+1},
onde, na última igualdade, usei novamente a definição x^{m+k+1}=x^{m+k}\cdot x. Assim o passo indutivo está estabelecido. Logo o lema é verdadeiro: \,x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n} para todo m\in\mathbb{Z} e todo n\ge0.

Passo 3

Agora trato o caso n<0. Escreva n=-k com k\in\mathbb{Z}_{>0}. Quero mostrar que, para todo m\in\mathbb{Z},
x^{m}\cdot x^{-k}=x^{m-k}.
Usarei a definição da potência negativa e a propriedade de cancelamento no grupo.
Pela definição x^{-k}=(x^{k})^{-1}. Considere a igualdade que queremos multiplicar à direita por x^{k}:
\bigl(x^{m}\cdot x^{-k}\bigr)\cdot x^{k}\stackrel{?}{=} x^{m-k}\cdot x^{k}.
No lado esquerdo, usando x^{-k}x^{k}=e, obtemos
\bigl(x^{m}\cdot x^{-k}\bigr)\cdot x^{k}=x^{m}\cdot (x^{-k}\cdot x^{k})=x^{m}\cdot e = x^{m}.
No lado direito, aplico o lema do Passo 2 (já provado) porque k\ge0: para todo inteiro t vale x^{t}\cdot x^{k}=x^{t+k}. Tomando t=m-k (que pode ser qualquer inteiro), temos
x^{m-k}\cdot x^{k}=x^{(m-k)+k}=x^{m}.
Assim ambos os lados da igualdade multiplicados por x^{k} resultam em x^{m}. Logo
\bigl(x^{m}\cdot x^{-k}\bigr)\cdot x^{k}=x^{m-k}\cdot x^{k}.
Agora uso a propriedade de cancelamento à direita (que é válida em todo grupo): se a\cdot c=b\cdot c então a=b (basta multiplicar à direita por c^{-1}). Aplicando-a com c=x^{k} obtemos
x^{m}\cdot x^{-k}=x^{m-k}.
Portanto o caso n<0 está resolvido.

Passo 4

Juntando os casos: no Passo 2 mostrei que para todo m\in\mathbb{Z} e todo n\ge0 vale x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}. No Passo 3 deduzi o caso n<0 escrevendo n=-k e usando cancelamento; isto cobre todos os inteiros n. Como m foi tratado como qualquer inteiro em todos os argumentos, concluí que a identidade vale para todo par (m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.
Observações didáticas rápidas (para fixar):
  • A associatividade foi usada para recolocar parênteses sem alterar o produto.
  • A definição de potência positiva x^{t+1}=x^{t}\cdot x foi essencial no passo indutivo.
  • A definição de potência negativa x^{-k}=(x^{k})^{-1} permite transformar um caso com expoente negativo em um caso com inverso e usar cancelamento.
  • Cancelamento em grupo é simplesmente multiplicar pela inversa apropriada.

Resposta

x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\quad\forall m,n\in\mathbb{Z}.

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