Considere um sistema de massa-mola consistindo de duas massas unitárias suspensas de molas com constantes
e
respectivamente. Supondo que não há amortecimento no sistema, os deslocamentos
e
das massas a partir das respectivas posições de equilíbrio satisfazem as equações:
Com os dados
e
e sem amortecimentos, nos dá:
Supondo agora que as condições iniciais são
Mostre que as soluções correspondentes do problema são
e
Nesse caso, o segundo movimento tem frequência
. As massas estão fora de fase uma em relação a outra, uma movendo para baixo enquanto a outra se move para cima, e vice-versa. Nesse modo, a primeira massa se move duas vezes mais rápida que a segunda.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema acoplado sem amortecimento
com condições iniciais
O conteúdo aqui é encontrar os modos normais (autovalores e autovetores) e montar a solução geral, escolhendo constantes para satisfazer essas condições iniciais.
Passo 2
Como não há amortecimento e as equações são lineares homogêneas de segunda ordem, experimentamos uma solução do tipo modo normal
com amplitudes
e frequência
a determinar.
Passo 3
Substituindo
e
em cada equação, obtemos o sistema algébrico
Para existir solução não trivial
, o determinante deve anular:
Expandindo,
Assim as frequências naturais são
ou
.
Passo 4
Focamos no modo com
. Substituindo em
dá
Logo esse modo normal satisfaz
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Como escolhemos só o cosseno, garantimos
. Em
temos
coerente com o enunciado. Portanto as soluções ficam
Resposta
A frequência desse modo é
. As massas movem-se em oposição de fase, com a primeira tendo amplitude duas vezes maior que a segunda.