Considere um sistema de massa-mola consistindo de duas massas unitárias suspensas de molas com constantes k1=3 e k2=2 respectivamente. Supondo que não há amortecimento no sistema, os deslocamentos x1(t) e x2(t) das massas a partir das respectivas posições de equilíbrio satisfazem as equações:
& m1 x1^prime prime=-k1 x1-k2(x1-x2) & m2 x2^prime prime=-k2(x2-x1)
Com os dados m1=1, m2=2, k1=3 e k2=2 e sem amortecimentos, nos dá:
& x1^prime prime+5 x1=2 x2 & x2^prime prime+2 x2=2 x1
Supondo agora que as condições iniciais são
x1(0) & =-2 x1^prime(0) & =0 x2(0) & =1 x2^prime(0) & =0
Mostre que as soluções correspondentes do problema são
x1(t)=-2 cos (raiz6 t)
e
x2(t)=cos (raiz6 t)
Nesse caso, o segundo movimento tem frequência raiz6. As massas estão fora de fase uma em relação a outra, uma movendo para baixo enquanto a outra se move para cima, e vice-versa. Nesse modo, a primeira massa se move duas vezes mais rápida que a segunda.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema acoplado sem amortecimento
x1''+5,x1=2,x2, x2''+2,x2=2,x1,
com condições iniciais
x1(0)=-2, x1'(0)=0, x2(0)=1, x2'(0)=0
O conteúdo aqui é encontrar os modos normais (autovalores e autovetores) e montar a solução geral, escolhendo constantes para satisfazer essas condições iniciais.

Passo 2

Como não há amortecimento e as equações são lineares homogêneas de segunda ordem, experimentamos uma solução do tipo modo normal
x1(t)=Acos(omega t), x2(t)=Bcos(omega t),
com amplitudes A,B e frequência omega a determinar.

Passo 3

Substituindo x1(t)=Acos(omega t) e x2(t)=Bcos(omega t) em cada equação, obtemos o sistema algébrico
(-omega^2+5),A=2,B,
(-omega^2+2),B=2,A
Para existir solução não trivial (A,B)neq(0,0), o determinante deve anular:
(5-omega^2)(2-omega^2)-4=0
Expandindo,
omega^4-7,omega^2+6=0 Longrightarrow (omega^2-6)(omega^2-1)=0
Assim as frequências naturais são omega=raiz6 ou omega=1.

Passo 4

Focamos no modo com omega^2=6. Substituindo em (5-omega^2),A=2B
(5-6),A=-A=2,B Longrightarrow A=-2,B
Logo esse modo normal satisfaz
x1(t)=-2,Bcos(raiz6,t), x2(t)=Bcos(raiz6,t)

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Como escolhemos só o cosseno, garantimos xi'(0)=0. Em t=0 temos
x1(0)=-2,B=-2 Longrightarrow B=1,
x2(0)=B=1,
coerente com o enunciado. Portanto as soluções ficam
x1(t)=-2cos(raiz6,t), x2(t)=cos(raiz6,t)

Resposta

x1(t)=-2cos(raiz6,t), x2(t)=cos(raiz6,t)
A frequência desse modo é raiz6. As massas movem-se em oposição de fase, com a primeira tendo amplitude duas vezes maior que a segunda.

Exercícios relacionados