Determine a forma da solução para a equação diferencial
y-4 y^prime+13 y=e^2 x cos (3 x)
Encontre os coeficientes A, e B da solução particular de y-4 y^prime+13 y=e^2 x cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede a forma da solução particular da equação diferencial linear com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 13y = e^2xcos(3x),
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar (1) encontrar as raízes da equação característica para identificar ressonância e (2) montar um chute (ansatz) para yp e determinar A e B ao substituir na equação.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 4y' + 13y = 0,
cuja equação característica é
r^2 - 4r + 13 = 0
As raízes são
r = 4 pm raiz16 - 522 = 2 pm 3,i
Logo a solução homogênea é da forma
yh = e^2x(C1cos(3x) + C2sin(3x))

Passo 3

Como a parte não-homogênea e^2xcos(3x) coincide com o comportamento de yh, há ressonância de ordem 1. Assim o ansatz para a solução particular deve ser multiplicado por x:
yp = x,e^2x(Acos(3x) + Bsin(3x))

Passo 4

Para simplificar a substituição, defina
u(x) = x(Acos(3x) + Bsin(3x)),
de modo que yp = e^2xu. Então
yp' = e^2x(u'+2u), yp'' = e^2x(u'' +4u' +4u)
Substituindo em y''-4y'+13y obtém-se
yp'' -4yp' +13yp = e^2xl(u''+4u'+4u -4(u'+2u)+13ur) = e^2xl(u'' +9ur)
Queremos isso igual a e^2xcos(3x), logo
u'' + 9u = cos(3x)

Passo 5

Calcule u, u'' e resolva u''+9u=cos(3x):
u = A xcos(3x) + B xsin(3x),
u'' + 9u = 6Bcos(3x) ;-;6Asin(3x)
Igualando a cos(3x) obtemos o sistema
6B = 1, -6A = 0 ;;Longrightarrow;; A = 0, ;B = tfrac16

Resposta

A = 0, B = tfrac16

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