Determine a forma da solução para a equação diferencial
Encontre os coeficientes
, e
da solução particular de
Passo 1
O enunciado pede a forma da solução particular da equação diferencial linear com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar (1) encontrar as raízes da equação característica para identificar ressonância e (2) montar um chute (ansatz) para
e determinar
e
ao substituir na equação.
Passo 2
A equação homogênea associada é
cuja equação característica é
As raízes são
Logo a solução homogênea é da forma
Passo 3
Como a parte não-homogênea
coincide com o comportamento de
, há ressonância de ordem 1. Assim o ansatz para a solução particular deve ser multiplicado por
:
Passo 4
Para simplificar a substituição, defina
de modo que
. Então
Substituindo em
obtém-se
Queremos isso igual a
, logo
Passo 5
Calcule
,
e resolva
:
Igualando a
obtemos o sistema