Se a parcela não homogênea da EDO for um produto de funções, por exemplo, ao resolver a equação diferencial
tentamos
Encontre os coeficientes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial! A questão nos dá uma equação do segundo grau com termos que envolvem funções trigonométricas e queremos encontrar os coeficientes
e
na solução particular
. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções específicas de equações diferenciais não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui,
é a segunda derivada de
,
é a primeira derivada, e a parte não homogênea é
. Precisamos encontrar uma solução particular
que satisfaça essa equação.
Passo 3
A solução particular proposta é:
Isso porque o lado direito da equação é um produto de um polinômio de primeiro grau (
) e uma função trigonométrica (
). Assumimos essa forma para tentar encontrar os coeficientes
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a primeira derivada
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a segunda derivada
:
Primeiro derivada novamente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo as expressões encontradas:
Vamos agrupar os termos de
e
e igualar os coeficientes de ambos os lados.
Passo 7
Após simplificar e comparar os coeficientes, obtemos um sistema de equações:
- Para os termos de
:
- Para os termos de
:
Passo 8
Resolvendo o sistema, igualamos os coeficientes de
,
,
e
de ambos os lados:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Do item 3:
Substituindo
na equação do item 1:
Então,
Substituindo
e
na equação do item 2:
E na equação do item 4:
Simplificando:
Agora, temos duas equações:
Resolvendo o sistema:
Da equação 2:
Substituindo na equação 1:
Calculando:
Então,
E substituindo em
:
Resposta
Os coeficientes são: