Se a parcela não homogênea da EDO for um produto de funções, por exemplo, ao resolver a equação diferencial
y^prime prime+2 y^prime+4 y=x cos (3 x)
tentamos
yp(x)=(A x+B) cos (3 x)+(C x+D) sen(3 x)
Encontre os coeficientes A, B, C e D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial! A questão nos dá uma equação do segundo grau com termos que envolvem funções trigonométricas e queremos encontrar os coeficientes A, B, C e D na solução particular yp(x) . Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções específicas de equações diferenciais não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
y'' + 2y' + 4y = x cos(3x)
Aqui, y'' é a segunda derivada de y , y' é a primeira derivada, e a parte não homogênea é x cos(3x) . Precisamos encontrar uma solução particular yp(x) que satisfaça essa equação.

Passo 3

A solução particular proposta é:
yp(x) = (A x + B) cos(3x) + (C x + D) sin(3x)
Isso porque o lado direito da equação é um produto de um polinômio de primeiro grau ( x ) e uma função trigonométrica ( cos(3x) ). Assumimos essa forma para tentar encontrar os coeficientes A, B, C e D .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp(x) . Primeiro, a primeira derivada yp'(x) :
yp'(x) = A cos(3x) - 3(Ax + B) sin(3x) + C sin(3x) + 3(Cx + D) cos(3x)
Simplificando:
yp'(x) = [A + 3(Cx + D)] cos(3x) + [C - 3(Ax + B)] sin(3x)

Passo 5

Agora, a segunda derivada yp''(x) :
Primeiro derivada novamente:
yp''(x) = -3(A + 3Cx + 3D) sin(3x) + 3C cos(3x) - 3[Ax + B]cos(3x) - 9(Cx + D)sin(3x)
Simplificando:
yp''(x) = [-3A - 9Cx - 9D - 3Ax - 3B] sin(3x) + [3C - 3Ax - 3B] cos(3x)

Passo 6

Agora, substituímos yp , yp' e yp'' na equação original:
yp'' + 2yp' + 4yp = x cos(3x)
Substituindo as expressões encontradas:
(Expressão complicada) = x cos(3x) ã
Vamos agrupar os termos de cos(3x) e sin(3x) e igualar os coeficientes de ambos os lados.

Passo 7

Após simplificar e comparar os coeficientes, obtemos um sistema de equações:
  1. Para os termos de cos(3x) :
(3C - 3A x - 3B) + 2(A + 3Cx + 3D) + 4(Ax + B) = x
  1. Para os termos de sin(3x) :
(-3A - 9Cx - 9D - 3Ax - 3B) + 2(C - 3Ax - 3B) + 4(Cx + D) = 0

Passo 8

Resolvendo o sistema, igualamos os coeficientes de x cos(3x) , cos(3x) , x sin(3x) e sin(3x) de ambos os lados:
  1. Coeficiente de x cos(3x) :
-3A + 6C + 4A = 1 Rightarrow A + 6C = 1
  1. Coeficiente de cos(3x) :
3C - 3B + 6D + 4B = 0 Rightarrow 3C + B + 6D = 0
  1. Coeficiente de x sin(3x) :
-3A - 9C - 3A + 6C + 4C = 0 Rightarrow -6A + C = 0
  1. Coeficiente de sin(3x) :
-3A - 9D - 3B + 2C - 6B + 4D = 0 Rightarrow -3A - 5B - 5D + 2C = 0

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Do item 3:
-6A + C = 0 Rightarrow C = 6A
Substituindo C na equação do item 1:
A + 6(6A) = 1 Rightarrow A + 36A = 1 Rightarrow 37A = 1 Rightarrow A = 137
Então,
C = 6 times 137 = 637
Substituindo A e C na equação do item 2:
3 times 637 + B + 6D = 0 Rightarrow 1837 + B + 6D = 0
E na equação do item 4:
-3 times 137 - 5B - 5D + 2 times 637 = 0 Rightarrow -337 - 5B - 5D + 1237 = 0
Simplificando:
937 - 5B - 5D = 0 Rightarrow -5B - 5D = -937 Rightarrow B + D = 9185
Agora, temos duas equações:
  1. 1837 + B + 6D = 0
  2. B + D = 9185
Resolvendo o sistema:
Da equação 2:
B = 9185 - D
Substituindo na equação 1:
1837 + (9185 - D) + 6D = 0 Rightarrow 1837 + 9185 + 5D = 0
Calculando:
18 times 5185 + 9185 + 5D = 0 Rightarrow 90 + 9185 + 5D = 0 Rightarrow 99185 + 5D = 0
Então,
5D = -99185 Rightarrow D = -99925
E substituindo em B + D = 9185 :
B - 99925 = 9185 Rightarrow B = 9185 + 99925 = 45 + 99925 = 144925

Resposta

Os coeficientes são:
A = 137, B = 144925, C = 637, D = -99925

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