Considere o sistema massa-mola correspondente à equação diferencial
y^prime prime+9 y=27 cos (6 t)
Existe alguma velocidade inicial y^prime(0) tal que se x(0)=-1 então x(pi / 3)=5 ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de um sistema massa-mola forçado
y'' + 9y = 27cos(6t)
com condição y(0)=-1 e condição inicial de velocidade y'(0) a determinar. Pergunta-se se existe algum y'(0) tal que também se tenha y(pi/3)=5. Para responder, vamos encontrar a solução geral da EDO e verificar o valor de y(pi/3).

Passo 2

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t),
onde a homogênea é
yh(t)=Acos(3t)+Bsin(3t)
(equação característica lambda^2+9=0, raízes pm3i), e procuramos yp da forma
yp(t)=Ccos(6t)+Dsin(6t)
Como
yp''=-36Ccos(6t)-36Dsin(6t),
substituindo em y''+9y=27cos(6t)
(-36C+9C)cos(6t)+(-36D+9D)sin(6t) =-27Ccos(6t)-27Dsin(6t) stackrel!=27cos(6t)
Logo
-27C=27implies C=-1, -27D=0implies D=0,
portanto
yp(t)=-cos(6t)

Passo 3

A solução geral fica
y(t)=Acos(3t)+Bsin(3t)-cos(6t)
Impondo y(0)=-1 temos
y(0)=A-cos(0)=A-1=-1implies A=0

Passo 4

Derivando,
y'(t)=-3Asin(3t)+3Bcos(3t)+6sin(6t) =3Bcos(3t)+6sin(6t)
em t=0 vale y'(0)=3B, daí
B=y'(0)3
Assim
y(t)=y'(0)3sin(3t)-cos(6t)

Passo 5

Em t=pi/3 temos
sinl(3cdotpi3r)=sin(pi)=0, cosl(6cdotpi3r)=cos(2pi)=1,
logo
yl(pi/3r) =y'(0)3cdot0 ;-;1 =-1,
independente de y'(0). Assim não há como obter y(pi/3)=5.

Resposta

Não existe velocidade inicial y'(0) tal que, com y(0)=-1, se tenha y(pi/3)=5, pois para qualquer y'(0) resulta sempre y(pi/3)=-1.

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