Considere um sistema massa-mola em que um corpo de 2 kg , preso a uma mola ideal com constante elástica de , movimenta-se livremente e sem atrito sobre uma linha reta horizontal ao longo do eixo da mola. No momento em que se inicia a observação, o corpo encontra-se na posição de equilíbrio do sistema e recebe um impulso que o faz partir a uma velocidade de . Escreva um PVI para a posição do corpo como função do tempo, , e, exclusivamente com base em sua solução determine a distância máxima que o corpo se afasta da posição de equilíbrio e quanto tempo o corpo leva para retornar à posição inicial pela primeira vez.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola onde uma massa de 2 kg está ligada a uma mola com constante elástica de . Essa massa pode se mover livremente sem atrito em uma direção horizontal. No instante inicial, a massa está na posição de equilíbrio e recebe um impulso que a faz se mover com velocidade de .
Vamos resolver isso usando Mecânica Harmônica Simples, que estuda movimentos oscilatórios como o de uma massa em uma mola. Precisamos encontrar a posição da massa ao longo do tempo e, a partir disso, determinar a distância máxima que a massa alcança e quanto tempo ela leva para retornar à posição inicial pela primeira vez.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o movimento da massa na mola segue uma equação diferencial conhecida como Equação do Movimento Harmônico Simples (MHS):
Aqui, é a massa, é a constante elástica da mola, e é a posição da massa em função do tempo.
Passo 3
Substituindo os valores fornecidos no problema:
Simplificando:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução harmônica. A solução geral para essa equação é:
Onde é a frequência angular, dada por:
Passo 5
Precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais fornecidas:
No instante , a posição é zero (posição de equilíbrio).
A velocidade inicial é 1 , m/s.
Primeiro, aplicando x(0) = 0:
0 = A cos(0) + B sin(0) 0 = A cdot 1 + B cdot 0 A = 0
Passo 6
Agora, calculamos a velocidade v(t):
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
Aplicando v(0) = 1 , m/s:
1 = -0 cdot omega sin(0) + B omega cos(0) 1 = B cdot 0,9487 cdot 1 B = 10,9487 approx 1,054 , m
Passo 7
Com A = 0 e B approx 1,054, a solução para x(t) fica:
x(t) = 1,054 sin(0,9487 t)
Passo 8
Agora, vamos encontrar a distância máxima que a massa se afasta da posição de equilíbrio. No movimento harmônico simples, essa distância é a amplitude A, que no nosso caso é 1,054 , m.
Passo 9
Para determinar o tempo que a massa leva para retornar à posição inicial pela primeira vez, precisamos encontrar o menor t > 0 para o qual x(t) = 0.
1,054 sin(0,9487 t) = 0 sin(0,9487 t) = 0
O primeiro instante após t = 0 onde isso ocorre é quando:
0,9487 t = pi t = pi0,9487 approx 3,31 , segundos
Resposta
A posição do corpo em função do tempo é dada por:
x(t) = 1,054 sin(0,9487, t)
A distância máxima que o corpo se afasta da posição de equilíbrio é de aproximadamente 1,054 metros, e o tempo que ele leva para retornar à posição inicial pela primeira vez é de cerca de 3,31 segundos.