A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a equação: x(t)=a t^2-b t^3, x em cm, t em s.
qual é a velocidade e em que instante ela é nula?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a posição de uma partícula que se movimenta no eixo x, dependendo do tempo, dada pela equação , onde está em centímetros e em segundos. O objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade dessa partícula e em que instante essa velocidade é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas da matemática, que nos ajudam a entender como uma função muda em relação a uma variável, nesse caso, o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade de uma partícula é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar a função v(t) = dxdt = ddt(a t^2) - ddt(b t^3) = 2a t - 3b t^2 para encontrar a função de velocidade v(t) = 2a t - 3b t^2 . A derivada nos mostra a taxa de variação da posição, ou seja, quão rápido a partícula está se movendo em cada instante.
Vamos calcular a derivada de :
Então, a velocidade da partícula é dada por:

Passo 3

Agora, para encontrar o instante em que a velocidade é nula, a gente precisa resolver a equação 2a t - 3b t^2 = 0 . Isso significa que vamos igualar a expressão da velocidade a zero e resolver para t (2a - 3b t) = 0 :
Podemos fatorar o :
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Então, a velocidade é nula nos instantes e .

Resposta

A velocidade da partícula é e ela é nula nos instantes e segundos.

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