A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a equação: x(t)=a t^2-b t^3, x em cm, t em s.
qual é a aceleração e em que instante ela é nula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula ao longo do tempo com a equação $ x(t) = a t^{2} - b t^{3} $, onde $ x $ está em centímetros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração dessa partícula e descobrir em que instante essa aceleração é nula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajudam a encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $:
x(t)

Passo 3

Agora que temos a expressão para a velocidade, podemos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou a primeira derivada da velocidade:
a(t) = dvdt = ddt(2a t - 3b t^2) = 2a - 6b t

Passo 4

Vamos agora responder a segunda parte da questão: em que instante a aceleração é nula. Para isso, igualamos a expressão da aceleração a zero e resolvemos para $ t $:
t

Passo 5

Resolvendo a equação $ 2a - 6b t = 0 $:
2a - 6b t = 0

Resposta

A aceleração da partícula é $ a(t) = 2a - 6b t $ cm/s². Ela é nula no instante $ t = \frac{a}{3b} $ segundos.

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