Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
u^{\prime \prime}+u^{\prime}+2 u=\cos \omega t, \omega>0, u(0)=0, u^{\prime}(0)=2 .
(a) Determine a solução geral da equação diferencial.
(b) Determine a solução estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da solução estacionária como função de \omega.
(d) Determine a frequência para a qual a amplitude é máxima.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola amortecido forçado por \cos\omega t. A equação é
u'' + u' + 2u = \cos\omega t,
com condições iniciais u(0)=0, u'(0)=2.
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem não–homogênea. Vamos obter
  1. solução geral u(t)=u_h(t)+u_p(t),
  2. regime permanente (solução estacionária) u_p(t),
  3. amplitude em função de \omega,
  4. frequência de pico da amplitude.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
u_h'' + u_h' + 2u_h = 0,
a equação característica é
r^2 + r + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}.
Logo
u_h(t) = e^{-t/2}\Bigl(A\cos\frac{\sqrt7}{2}t + B\sin\frac{\sqrt7}{2}t\Bigr).

Passo 3

Procuramos particular da forma
u_p(t) = C\cos\omega t + D\sin\omega t.
Substituindo em u''+u'+2u=\cos\omega t\) e agrupando coeficientes de \(\cos\omega t\) e \(\sin\omega t\), obtemos o sistema \[\begin{cases} (-\omega^2 + 2)\,C + \omega\,D = 1,\\\\ -\omega\,C + (-\omega^2 + 2)\,D = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem (\omega C=(2-\omega^2)D]. Resolvendo,
C = \frac{2-\omega^2}{\omega^4-3\omega^2+4}, \quad D = \frac{\omega}{\omega^4-3\omega^2+4}.

Passo 4

Impondo u(0)=0
u(0)=A + C = 0 \;\Longrightarrow\; A = -\,C = \frac{\omega^2-2}{\omega^4-3\omega^2+4}.
Para u'(0)=2, calcula-se u'(t) e avalia em t=0, chegando a
B = \frac{4\omega^4 - 13\omega^2 + 14}{\sqrt7\,(\omega^4 - 3\omega^2 + 4)}.
Logo a solução geral é
u(t) = e^{-t/2}\Bigl( \frac{\omega^2-2}{\omega^4-3\omega^2+4}\cos\frac{\sqrt7}{2}t +\frac{4\omega^4 - 13\omega^2 + 14}{\sqrt7\,(\omega^4-3\omega^2+4)}\sin\frac{\sqrt7}{2}t \Bigr) +\frac{2-\omega^2}{\omega^4-3\omega^2+4}\cos\omega t +\frac{\omega}{\omega^4-3\omega^2+4}\sin\omega t.

Passo 5

A solução estacionária é justamente u_p(t), ou seja
u_{\text{est}}(t) = \frac{2-\omega^2}{\omega^4-3\omega^2+4}\cos\omega t +\frac{\omega}{\omega^4-3\omega^2+4}\sin\omega t.

Passo 6

A amplitude da oscilação estacionária é
R(\omega) = \sqrt{C^2 + D^2} = \frac{1}{\sqrt{(2-\omega^2)^2 + \omega^2}} = \frac{1}{\sqrt{\omega^4 -3\omega^2 +4}}.

Passo 7

Para maximizar R(\omega) minimizamos o denominador \!D(\omega)=\omega^4 -3\omega^2 +4.
D'(\omega) = 4\omega^3 -6\omega =2\omega(2\omega^2-3)=0 \;\Longrightarrow\; \omega^2=\tfrac32\\ (\omega>0)
Logo a frequência de ressonância (pico de amplitude) é \omega = \sqrt{\tfrac32}.

Resposta

(a)
u(t) = e^{-t/2}\Bigl( \frac{\omega^2-2}{\omega^4-3\omega^2+4}\cos\frac{\sqrt7}{2}t +\frac{4\omega^4 - 13\omega^2 + 14}{\sqrt7\,(\omega^4-3\omega^2+4)}\sin\frac{\sqrt7}{2}t \Bigr) +\frac{2-\omega^2}{\omega^4-3\omega^2+4}\cos\omega t +\frac{\omega}{\omega^4-3\omega^2+4}\sin\omega t.
(b)
u_{\text{est}}(t) = \frac{2-\omega^2}{\omega^4-3\omega^2+4}\cos\omega t +\frac{\omega}{\omega^4-3\omega^2+4}\sin\omega t.
(c)
R(\omega)=\frac{1}{\sqrt{\omega^4-3\omega^2+4}}.
(d)
\omega_{\max}=\sqrt{\tfrac32}.

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