Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
(a) Determine a solução geral da equação diferencial.
(b) Determine a solução estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da solução estacionária como função de
.
(d) Determine a frequência para a qual a amplitude é máxima.
(b) Determine a solução estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da solução estacionária como função de
(d) Determine a frequência para a qual a amplitude é máxima.
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador massa-mola amortecido forçado por
. A equação é
com condições iniciais
,
.
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem não–homogênea. Vamos obter
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem não–homogênea. Vamos obter
- solução geral
, - regime permanente (solução estacionária)
, - amplitude em função de
, - frequência de pico da amplitude.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
a equação característica é
Logo
Passo 3
Procuramos particular da forma
Substituindo em
Da segunda equação vem (\omega C=(2-\omega^2)D]. Resolvendo,
Passo 4
Impondo
dá
Para
, calcula-se
e avalia em
, chegando a
Logo a solução geral é
Passo 5
A solução estacionária é justamente
, ou seja
Passo 6
A amplitude da oscilação estacionária é
Passo 7
Para maximizar
minimizamos o denominador
.
Logo a frequência de ressonância (pico de amplitude) é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)