( 6 pts) Resolva a inequação \frac{3 x+6}{-x+3} \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3x+6}{-x+3}\geq0.
Este é um problema de inequação racional: vamos
  1. identificar onde o numerador e o denominador são zero;
  2. montar um quadro de sinais;
  3. decidir em quais intervalos a fração fica não-negativa.

Passo 2

Encontremos as raízes do numerador e do denominador:
3x+6=0\quad\Longrightarrow\quad x=-2,
-x+3=0\quad\Longrightarrow\quad x=3.
Logo, a expressão zera em x=-2 e está indefinida em x=3. O domínio é \mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 3

Analisemos o sinal de cada fator nos intervalos determinados pelos pontos críticos -2 e 3:
Em x<-2: \,3x+6<0 e -x+3>0 ⇒ fração negativa.
Em -2<x<3: \,3x+6>0 e -x+3>0 ⇒ fração positiva.
Em x>3: \,3x+6>0 e -x+3<0 ⇒ fração negativa.

Passo 4

Queremos \frac{3x+6}{-x+3}\ge0, ou seja, onde a fração é positiva ou zero.
Isto ocorre em
-2\le x<3,
incluindo x=-2 (torna o numerador zero) e excluindo x=3 (indefinição).

Resposta

x\in[-2,3).

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