Exercício 19 Resolva as equações abaixo para x>0 fazendo a substituição t=\ln x.
x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y''+4xy'+2y=0
para x>0, fazendo a substituição t=\ln x. Informações relevantes dadas:
  • A variável independente original é x e o domínio é x>0 (logo \ln x está bem definido).
  • Devemos usar a mudança de variável t=\ln x.
  • A incógnita é a função y=y(x). Após a substituição vamos escrever z(t)=y(e^{t}).
    A partir daqui começamos a transformar a equação usando t=\ln x.

Passo 2

Defino t=\ln x e z(t)=y(e^{t}). Primeiro preciso relacionar as derivadas de y em relação a x com as derivadas de z em relação a t.
Regra útil (cadeia): se y(x)=z(t) com t=t(x), então
\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}.
Aqui t=\ln x, então \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}. Assim
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}z'(t).
Explicando devagar: z'(t) é a derivada de z em relação a t; para transformar em derivada em relação a x multiplicamos por \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Agora calculo a segunda derivada y''. Uso produto e cadeia. Começo de
y'=x^{-1}z'(t).
Derivando em x:
y''=\frac{d}{dx}\big(x^{-1}z'(t)\big).
Usando que \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2} e que \dfrac{d}{dx}z'(t)=\dfrac{dz'}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}=z''(t)\cdot\frac{1}{x}, obtemos
y''=-x^{-2}z'(t)+x^{-1}\cdot\frac{1}{x}z''(t)=x^{-2}\big(z''(t)-z'(t)\big).
Resumo das transformações obtidas:
y'=\frac{1}{x}z',\qquad y''=\frac{1}{x^{2}}\big(z''-z'\big),
onde primes em z são derivadas em relação a t.

Passo 4

Substituo y' e y'' na equação original:
x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}\big(z''-z'\big)+4x\cdot\frac{1}{x}z'+2z=0.
Simplificando os fatores x:
(z''-z')+4z'+2z=0.
Agrupando termos semelhantes:
z''+3z'+2z=0.
Portanto a mudança de variável transformou a equação em uma equação linear de coeficientes constantes em t.

Passo 5

Resolvo a equação linear de coeficientes constantes
z''+3z'+2z=0.
Usamos a técnica padrão: equação característica \lambda^{2}+3\lambda+2=0. Resolvo a quadrática:
\lambda^{2}+3\lambda+2=(\lambda+1)(\lambda+2)=0,
portanto as raízes são \lambda=-1 e \lambda=-2. Como são raízes reais distintas, a solução geral é
z(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinação por condições iniciais, se houvesse).

Passo 6

Volto para a variável x. Lembre que t=\ln x, então e^{-t}=e^{-\ln x}=x^{-1} e e^{-2t}=x^{-2}. Assim
y(x)=z(\ln x)=C_{1}x^{-1}+C_{2}x^{-2}.
Esse é o conjunto de todas as soluções definidas para x>0.

Resposta

y(x)=\frac{C_{1}}{x}+\frac{C_{2}}{x^{2}}

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