Exercício 19 Resolva as equações abaixo para
fazendo a substituição
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
para
, fazendo a substituição
. Informações relevantes dadas:
- A variável independente original é
e o domínio é (logo está bem definido). - Devemos usar a mudança de variável
. - A incógnita é a função
. Após a substituição vamos escrever .
A partir daqui começamos a transformar a equação usando.
Passo 2
Defino
e
. Primeiro preciso relacionar as derivadas de
em relação a
com as derivadas de
em relação a
.
Regra útil (cadeia): se
com
, então
Aqui
, então
. Assim
Explicando devagar:
é a derivada de
em relação a
; para transformar em derivada em relação a
multiplicamos por
.
Passo 3
Agora calculo a segunda derivada
. Uso produto e cadeia. Começo de
Derivando em
:
Usando que
e que
, obtemos
Resumo das transformações obtidas:
onde primes em
são derivadas em relação a
.
Passo 4
Substituo
e
na equação original:
Simplificando os fatores
:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto a mudança de variável transformou a equação em uma equação linear de coeficientes constantes em
.
Passo 5
Resolvo a equação linear de coeficientes constantes
Usamos a técnica padrão: equação característica
. Resolvo a quadrática:
portanto as raízes são
e
. Como são raízes reais distintas, a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinação por condições iniciais, se houvesse).
Passo 6
Volto para a variável
. Lembre que
, então
e
. Assim
Esse é o conjunto de todas as soluções definidas para
.