Considere um sistema massa-mola com uma massa m de 0,5 kg, presa a uma mola de constante elástica k=200 N / m. O sistema está oscilando
livremente, mas você aplica uma força externa F(t)=F0 cos (omega t), com F0=5 N e omega é a frequência angular da força externa.
Se a força externa tiver uma frequência igual à frequência natural do sistema, o que acontece com a amplitude da oscilação? Justifique.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa–mola sem amortecimento, com massa m=0,5:kg, constante elástica k=200:N/m e força externa F(t)=F0cos(omega t), onde F0=5:N. Queremos saber o que ocorre com a amplitude da oscilação quando a frequência angular da força externa omega coincide com a frequência natural do sistema.

Passo 2

Escrevemos a equação de movimento do sistema sem amortecimento:
m,x'' + k,x = F0cos(omega t)
A frequência natural do sistema é
omega0 = raizkm = raiz2000,5 = 20:rad/s

Passo 3

Para um oscilador não amortecido, a amplitude da solução estacionária (particular) em regime permanente, quando omeganeqomega0, é
A(omega) =F0/ml|omega0^2-omega^2r| =F0m,l|omega0^2-omega^2r|
Note que o denominador omega0^2-omega^2 tende a zero quando omegatoomega0.

Passo 4

Quando omega=omega0 ocorre ressonância: o denominador da expressão de A(omega) fica nulo, o que torna a amplitude teoricamente ilimitada. De fato, na condição de ressonância, a solução particular adquire forma
xp(t)=F02,m,omega0;t;sin(omega0t),
cuja amplitude cresce proporcionalmente a t, isto é, sem limite superior.

Resposta

A amplitude cresce sem limite (teoricamente vai para infinito) em ressonância, pois a frequência externa iguala a frequência natural do sistema e torna nulo o denominador da amplitude estacionária.

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