Uma partícula de massa m=1 está presa a uma mola (na horizontal), de constante k=9, sofre resistência do ar proporcional à velocidade Fr(v)=-6 v e está sob ação da força externa Fe(t)=3 sen(3 t).
Sabe-se que essa mola se rompe somente se a massa se afastar da origem uma unidade de comprimento. Discuta se a solução de (a) romperá a mola.

Passo 1

O enunciado dá a ODE de segunda ordem com amortecimento e forçamento
x'' +6x' +9x = 3sin(3t),
com x(0)=0, x'(0)=0, massa m=1, coeficiente de amortecimento 6 e constante elástica 9. O conteúdo é resolução de EDO linear com coeficientes constantes (caso criticamente amortecido) e forçamento harmônico. Vamos (i) achar a solução geral, (ii) ajustar as condições iniciais e (iii) verificar se lvert x(t)rvert atinge 1.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea é
r^2 +6r+9=0,
cuja raiz dupla é r=-3. Logo a solução homogênea é
xh(t) = l(C1 + C2,tr)e^-3t

Passo 3

Para a solução particular usamos o palpite
xp(t)=Asin(3t)+Bcos(3t)
Derivando e substituindo em x''+6x'+9x=3sin(3t) obtém-se, após agrupar termos,
(-18B)sin(3t)+(18A)cos(3t)=3sin(3t)
Igualando coeficientes dá
-18B=3implies B=-tfrac16, 18A=0implies A=0,
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xp(t)=-tfrac16cos(3t)

Passo 4

A solução geral é
x(t) = l(C1 + C2,tr)e^-3t ;-;tfrac16cos(3t)
Em t=0:
x(0)=C1 -tfrac16=0implies C1=tfrac16
Derivando
x'(t)=l(C2-3C1-3C2,tr)e^-3t+tfrac12sin(3t),
em t=0:
x'(0)=C2-3cdottfrac16=0implies C2=tfrac12
Logo
x(t)=l(tfrac16+tfrac12,tr)e^-3t-tfrac16cos(3t)

Passo 5

O termo transitório
f(t)=l(tfrac16+tfrac12,tr)e^-3t
é não negativo e estritamente decrescente para t>=0, com f(0)=tfrac16. Assim
-tfrac16<= -tfrac16cos(3t)<= tfrac16
e
0<= f(t)<= tfrac16,
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-,tfrac16 ;=;0-tfrac16;<=;x(t);<=;tfrac16+tfrac16=tfrac13
Portanto lvert x(t)rvert<=tfrac13<1 para todo t.

Resposta

A solução não rompe a mola, pois lvert x(t)rvert<= tfrac13 <1 em todo instante.

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