Uma partícula de massa
está presa a uma mola (na horizontal), de constante
, sofre resistência do ar proporcional à velocidade
e está sob ação da força externa
.
Sabe-se que essa mola se rompe somente se a massa se afastar da origem uma unidade de comprimento. Discuta se a solução de (a) romperá a mola.
Sabe-se que essa mola se rompe somente se a massa se afastar da origem uma unidade de comprimento. Discuta se a solução de (a) romperá a mola.
Passo 1
O enunciado dá a ODE de segunda ordem com amortecimento e forçamento
com
,
, massa
, coeficiente de amortecimento
e constante elástica
. O conteúdo é resolução de EDO linear com coeficientes constantes (caso criticamente amortecido) e forçamento harmônico. Vamos (i) achar a solução geral, (ii) ajustar as condições iniciais e (iii) verificar se
atinge 1.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea é
cuja raiz dupla é
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular usamos o palpite
Derivando e substituindo em
obtém-se, após agrupar termos,
Igualando coeficientes dá
logo
Passo 4
A solução geral é
Em
:
Derivando
em
:
Logo
Passo 5
O termo transitório
é não negativo e estritamente decrescente para
, com
. Assim
e
logo
Portanto
para todo
.
Resposta
A solução não rompe a mola, pois
em todo instante.