O volume, v, de uma superfície de revolução gerada por uma curva contínua f(x), a <= x <= b, em torno do eixo y=0, é dada por v=pi integrala^b f(x)^2 d x. Obtenha o volume da(o):
sólido de revolução da parábola cábica y=x^3,-2 <= x <= 2, emr torno do eixo y=-1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a curva y = x^3, para -2 <= x <= 2, em torno do eixo y=-1. Vamos usar o método dos discos: o volume é
V = pi integrala^b l[raio(x)r]^2 dx,
onde raio(x) é a distância vertical de um ponto l(x,x^3r) até o eixo de revolução y=-1.

Passo 2

Para um ponto l(x,x^3r), a distância ao eixo y=-1 é
raio(x) = l|x^3 - (-1)r| = l|x^3 + 1r|
Como vamos elevar ao quadrado, podemos tirar o valor absoluto:
l[raio(x)r]^2 = (x^3 + 1)^2
Assim,
V = pi integral-2^2 (x^3 + 1)^2 , dx

Passo 3

Expandindo o integrando:
(x^3 + 1)^2 = x^6 + 2x^3 + 1
Logo,
V = pi integral-2^2 l(x^6 + 2x^3 + 1r),dx

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral x^6,dx = x^77, integral 2x^3,dx = 2cdotx^44 = x^42, integral 1,dx = x
Portanto,
integral-2^2 (x^6 + 2x^3 + 1),dx = [x^77 + x^42 + x]-2^2

Passo 5

Avaliaremos em x=2 e x=-2.
Em x=2:
2^77 + 2^42 + 2 = 1287 + 8 + 2 = 128 + 707 = 1987
Em x=-2:
(-2)^77 + (-2)^42 + (-2) = -1287 + 8 - 2 = -128 - 427 = -867
A diferença é
1987 - l(-867r) = 198 + 867 = 2847
Logo,
V = pi cdot 2847 = 284pi7

Resposta

V = 284pi7

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