volume, , de uma superfície de revolução gerada por uma curva contínua , em torno do eixo , é dada por . Obtenha o volume da(o):
sólido de revolução da parábola cábica , emr torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a curva , para , em torno do eixo . Vamos usar o método dos discos: o volume é
onde é a distância vertical de um ponto até o eixo de revolução .
Passo 2
Para um ponto , a distância ao eixo é
Como vamos elevar ao quadrado, podemos tirar o valor absoluto:
l[raio(x)r]^2 = (x^3 + 1)^2
Assim,
V = pi integral-2^2 (x^3 + 1)^2 , dx
Passo 3
Expandindo o integrando:
(x^3 + 1)^2 = x^6 + 2x^3 + 1
Logo,
V = pi integral-2^2 l(x^6 + 2x^3 + 1r),dx
Passo 4
Integramos termo a termo:
integral x^6,dx = x^77, integral 2x^3,dx = 2cdotx^44 = x^42, integral 1,dx = x