Resolva o seguinte PVI:
(P V I) y^prime prime+4 y^prime+13 y & =de<a(t-pi)+de<a(t-3 pi) y(0)=1, y^prime(0) & =0
onde de<a(t-pi) é a função Delta de Dirac.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com termos envolvendo a função Delta de Dirac. Nosso objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação:
y'' + 4 y' + 13 y = de<a(t - pi) + de<a(t - 3pi)
com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0 .
Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando há impulsos como a função Delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Aplicando isso à nossa equação:
Ly'' + 4 Ly' + 13 Ly = Lde<a(t - pi) + Lde<a(t - 3pi)

Passo 3

Agora, substituímos as transformadas:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 4 (s Y(s) - y(0)) + 13 Y(s) = e^-pi s + e^-3pi s
Sabemos que y(0) = 1 e y'(0) = 0 , então substituindo esses valores:
s^2 Y(s) - s (1) - 0 + 4 (s Y(s) - 1) + 13 Y(s) = e^-pi s + e^-3pi s
Simplificando:
s^2 Y(s) - s + 4s Y(s) - 4 + 13 Y(s) = e^-pi s + e^-3pi s

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que envolvem Y(s) :
(s^2 + 4s + 13) Y(s) - s - 4 = e^-pi s + e^-3pi s
Isolando Y(s) :
Y(s) = s + 4 + e^-pi s + e^-3pi ss^2 + 4s + 13

Passo 5

Vamos separar Y(s) em duas partes: a solução da equação homogênea e a resposta aos impulsos:
Y(s) = s + 4s^2 + 4s + 13 + e^-pi s + e^-3pi ss^2 + 4s + 13
A primeira fração corresponde à solução da equação homogênea, e a segunda à resposta aos impulsos.

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
Yhomogênea(s) = s + 4s^2 + 4s + 13 ê
Completo o quadrado no denominador para facilitar a inversão:
s^2 + 4s + 13 = (s + 2)^2 + 9
Então:
Yhomogênea(s) = s + 4(s + 2)^2 + 9 = (s + 2) + 2(s + 2)^2 + 9 = s + 2(s + 2)^2 + 9 + 2(s + 2)^2 + 9 ê
A inversa da Transformada de Laplace disso é:
yhomogênea(t) = e^-2t cos(3t) + 23 e^-2t sin(3t) ê

Passo 7

Agora, vamos tratar da parte dos impulsos. Usamos a propriedade da Transformada de Laplace para deslocamentos no tempo:
Lde<a(t - a) = e^-a s
Então, a inversa da Transformada para:
e^-pi ss^2 + 4s + 13 e e^-3pi ss^2 + 4s + 13
será:
yimpulsos(t) = e^-2(t - pi) cos(3(t - pi)) H(t - pi) + e^-2(t - 3pi) cos(3(t - 3pi)) H(t - 3pi)
onde H(t - a) é a função degrau de Heaviside, que ativa o termo a partir de t = a .

Passo 8

Finalmente, juntamos as duas partes para obter a solução completa:
y(t) = e^-2t cos(3t) + 23 e^-2t sin(3t) + e^-2(t - pi) cos(3(t - pi)) H(t - pi) + e^-2(t - 3pi) cos(3(t - 3pi)) H(t - 3pi)

Resposta

A solução do PVI é dada por:
y(t) = e^-2t cos(3t) + 23 e^-2t sin(3t) + e^-2(t - pi) cos(3(t - pi)) H(t - pi) + e^-2(t - 3pi) cos(3(t - 3pi)) H(t - 3pi)
Onde H(t - a) é a função degrau de Heaviside, que ativa os termos a partir de t = a .

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