Considere um sistema de N partículas. As partículas interagem entre si (forças internas falpha beta ) e estão submetidas a uma força externa F. Considere que as forças internas falpha beta obedecem à terceira lei de Newton, falpha beta=-fbeta alpha.
© Calcule o momento angular total do sistema de partículas e mostre que a variação do momento angular total é devido apenas ao torque externo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular o momento angular total de um sistema de $ N $ partículas que interagem entre si e estão sujeitas a uma força externa. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de momento angular, forças internas e externas, e a terceira lei de Newton. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento angular. Para uma partícula, o momento angular $ \vec{L} $ é dado por:
L
onde $ \vec{r} $ é o vetor posição em relação a um ponto de referência, e $ \vec{p} $ é o momento linear, que é $ m\vec{v} $.

Passo 3

Agora, para um sistema de $ N $ partículas, o momento angular total $ \vec{L}_{total} $ é a soma dos momentos angulares de todas as partículas:
N

Passo 4

Queremos descobrir como o momento angular total varia ao longo do tempo. A variação do momento angular é igual ao torque total atuante no sistema:
dLtotaldt = tautotal

Passo 5

Vamos analisar as forças que atuam nas partículas. Temos forças internas $ \vec{f}{\alpha \beta} $ entre as partículas e uma força externa $ \vec{F} $. O torque total $ \vec{\tau}{total} $ é a soma dos torques causados por todas essas forças:
falpha beta

Passo 6

As forças internas obedecem à terceira lei de Newton, ou seja, $ \vec{f}{\alpha \beta} = -\vec{f}{\beta \alpha} $. Quando calculamos o torque devido às forças internas, esses torques se cancelam porque são iguais e opostos:
falpha beta = -fbeta alpha

Passo 7

Portanto, o único torque que contribui para a variação do momento angular total é o torque externo $ \vec{\tau}_{externo} $. Assim, temos:
tauexterno

Resposta

A variação do momento angular total do sistema de partículas é igual ao torque externo aplicado, ou seja:
dLtotaldt = tauexterno

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