Considere um sistema de N partículas. As partículas interagem entre si (forças internas
) e estão submetidas a uma força externa
. Considere que as forças internas
obedecem à terceira lei de Newton,
.
(b) Mostre que, para este sistema de partículas, a variação do momento linear total
(
, onde
é a velocidade do centro de massa e
é massa total do sistema) se deve apenas à força externa e que na ausência da força externa o momento linear total é conservado.
(b) Mostre que, para este sistema de partículas, a variação do momento linear total
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com N partículas que interagem entre si através de forças internas, e também estão sujeitas a uma força externa. A gente vai trabalhar com a ideia de momento linear total do sistema e mostrar como ele muda devido às forças. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a conservação do momento linear e como as forças internas e externas influenciam esse momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento linear total (
) de um sistema de partículas é definido como a soma dos momentos individuais de cada partícula. Matematicamente, isso é:
Mas também podemos expressar o momento total usando a massa total
e a velocidade do centro de massa
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a variação do momento linear total no tempo. Para isso, vamos derivar
em relação ao tempo:
Como
é a aceleração do centro de massa, e pela segunda lei de Newton sabemos que
é igual à força resultante que atua no sistema.
Passo 4
A força resultante que atua no sistema é a soma de todas as forças internas e externas. Ou seja:
Aqui,
representa as forças internas entre as partículas
e
, e
é a força externa total.
Passo 5
Mas, pelo enunciado, sabemos que as forças internas obedecem à terceira lei de Newton, ou seja:
Isso significa que, para cada par de forças internas, elas se cancelam quando somadas, porque são iguais e opostas.
Passo 6
Assim, quando somamos todas as forças internas no sistema:
Isso porque cada força interna tem sua força de reação que cancela a original.
Passo 7
Com as forças internas cancelando, a força resultante que atua no sistema fica apenas com a força externa:
Passo 8
Voltando à derivada do momento linear total:
Isso mostra que a variação do momento linear total é igual apenas à força externa aplicada no sistema.
Passo 9
Se não houver nenhuma força externa (
), então:
O que significa que o momento linear total
não está variando no tempo.
Passo 10
Portanto, na ausência de força externa, o momento linear total é conservado, ou seja, permanece constante.
Resposta
A variação do momento linear total
do sistema é igual à força externa
. Portanto, sem força externa, o momento linear total permanece constante, ou seja, é conservado.