Considere um sistema de N partículas. As partículas interagem entre si (forças internas falpha beta ) e estão submetidas a uma força externa F. Considere que as forças internas falpha beta obedecem à terceira lei de Newton, falpha beta=-fbeta alpha.
(b) Mostre que, para este sistema de partículas, a variação do momento linear total P ( P=M V, onde V é a velocidade do centro de massa e M é massa total do sistema) se deve apenas à força externa e que na ausência da força externa o momento linear total é conservado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com N partículas que interagem entre si através de forças internas, e também estão sujeitas a uma força externa. A gente vai trabalhar com a ideia de momento linear total do sistema e mostrar como ele muda devido às forças. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a conservação do momento linear e como as forças internas e externas influenciam esse momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento linear total ( P) de um sistema de partículas é definido como a soma dos momentos individuais de cada partícula. Matematicamente, isso é:
P = sumalpha=1^N malpha valpha
Mas também podemos expressar o momento total usando a massa total M e a velocidade do centro de massa V:
P = M V

Passo 3

Agora, queremos encontrar a variação do momento linear total no tempo. Para isso, vamos derivar P em relação ao tempo:
dPdt = ddt(M V) = M dVdt
Como dVdt é a aceleração do centro de massa, e pela segunda lei de Newton sabemos que M dVdt é igual à força resultante que atua no sistema.

Passo 4

A força resultante que atua no sistema é a soma de todas as forças internas e externas. Ou seja:
Fresu
Aqui, falpha beta representa as forças internas entre as partículas alpha e beta, e F é a força externa total.

Passo 5

Mas, pelo enunciado, sabemos que as forças internas obedecem à terceira lei de Newton, ou seja:
falpha beta = -fbeta alpha
Isso significa que, para cada par de forças internas, elas se cancelam quando somadas, porque são iguais e opostas.

Passo 6

Assim, quando somamos todas as forças internas no sistema:
sumalpha, beta falpha beta = 0
Isso porque cada força interna tem sua força de reação que cancela a original.

Passo 7

Com as forças internas cancelando, a força resultante que atua no sistema fica apenas com a força externa:
Fresu

Passo 8

Voltando à derivada do momento linear total:
dPdt = F
Isso mostra que a variação do momento linear total é igual apenas à força externa aplicada no sistema.

Passo 9

Se não houver nenhuma força externa ( F = 0), então:
dPdt = 0
O que significa que o momento linear total P não está variando no tempo.

Passo 10

Portanto, na ausência de força externa, o momento linear total é conservado, ou seja, permanece constante.

Resposta

A variação do momento linear total P do sistema é igual à força externa F. Portanto, sem força externa, o momento linear total permanece constante, ou seja, é conservado.

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