Demonstre a fórmula do campo magnético produzido a) por um fio retilíneo muito longo a uma distância perpendicular R, sendo que fio está localizado no vácuo e permite a passagem de uma corrente I e b) demonstre a fórmula do campo magnético produzido no eixo central de uma espira circular de raio R que permite a passagem de uma corrente I (ambas as demonstrações têm que ser realizadas pela lei de Biot- Savart)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas partes nesse exercício sobre o campo magnético. A primeira parte (a) pede para demonstrar a fórmula do campo magnético criado por um fio retilíneo muito longo a uma distância perpendicular $ R $, com corrente $ I $ passando por ele no vácuo. A segunda parte (b) quer que a gente demonstre a fórmula do campo magnético no eixo central de uma espira circular de raio $ R $, também com corrente $ I $, usando a Lei de Biot-Savart. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Biot-Savart e como aplicá-la em diferentes geometrias de corrente.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar o campo magnético $ \boldsymbol{B} $ produzido por um fio retilíneo muito longo a uma distância perpendicular $ R $ usando a Lei de Biot-Savart. A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético gerado por um elemento de corrente $ I $ é dado por:
B
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo,
  • $ d\boldsymbol{l} $ é um elemento infinitesimal de comprimento do fio,
  • $ \boldsymbol{\hat{r}} $ é o vetor unitário na direção do ponto onde queremos calcular o campo,
  • $ r $ é a distância entre $ d\boldsymbol{l} $ e o ponto de interesse.

Passo 3

Para aplicar essa lei ao fio retilíneo longo, vamos considerar um fio infinito ao longo do eixo $ z $ e queremos calcular o campo magnético em um ponto a uma distância $ R $ no eixo $ x $. Devido à simetria, todos os elementos de corrente contribuem com o campo magnético na mesma direção circular ao redor do fio.
O vetor $ d\boldsymbol{l} $ está na direção $ \boldsymbol{\hat{z}} $ e o vetor $ \boldsymbol{\hat{r}} $ aponta do elemento de corrente para o ponto onde estamos calculando o campo, formando um ângulo de 90 graus. Então, o produto vetorial $ d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{\hat{r}} $ resulta em um vetor na direção azimutal (circunferencial).

Passo 4

Como a distância $ r $ do elemento $ d\boldsymbol{l} $ ao ponto é sempre $ R $, podemos simplificar a expressão:
r
A contribuição total do campo magnético será a integração de $ dB $ ao longo de todo o fio, ou seja, de $ -\infty $ a $ +\infty $.

Passo 5

Integramos $ dB $:
dB
Como $ \frac{\mu_0 I}{4\pi R^2} $ é constante em relação a $ l $, a integral fica:
B = integral-infty^+infty mu0 I4pi dlR^2
No entanto, a direção do campo magnético ao redor do fio forma um círculo de raio $ R $, e a contribuição total em qualquer direção é simétrica. Ao considerar a integral correta, obtemos:
mu0 I4pi R^2

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): demonstrar a fórmula do campo magnético no eixo central de uma espira circular de raio $ R $ com corrente $ I $ usando a Lei de Biot-Savart.
A espira circular tem uma simetria diferente, mas também podemos aplicar a Lei de Biot-Savart. Vamos considerar o eixo $ z $ passando pelo centro da espira.
Para um ponto no eixo $ z $, a distância de cada elemento $ d\boldsymbol{l} $ da espira ao ponto é $ \sqrt{R^2 + z^2} $, e o ângulo entre $ d\boldsymbol{l} $ e o vetor $ \boldsymbol{\hat{r}} $ é tal que apenas a componente $ z $ do campo contribui, devido à simetria.

Passo 7

A composição do campo magnético no ponto no eixo será a soma de todas as contribuições das componentes $ z $:
z
Aqui, $ R $ é o raio da espira e $ dl = R , d\theta $, onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 8

Realizando a integração:
Bz = mu0 I R^24pi (R^2 + z^2)^3/2 integral0^2pi dtheta
A integral de $ d\theta $ de $ 0 $ a $ 2\pi $ é $ 2\pi $:
dtheta

Passo 9

No caso específico do eixo central da espira (onde $ z = 0 $):
z = 0

Resposta

a) Para um fio retilíneo muito longo, o campo magnético a uma distância perpendicular $ R $ é:
R
b) No eixo central de uma espira circular de raio $ R $, o campo magnético é:
B = mu0 I2pi R

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