A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de
. No instante inicial
o oscilador é posto em movimento com velocidade
, estando na posição
. Encontre
e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos: (a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e)
Resp.: a)
, OHS ; b)
, fraco;
, subcrítico; d)
, crítico;
e)
, supercrítico.
Resp.: a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre osciladores amortecidos! A questão pede para encontrar a posição $ x(t) $ de um oscilador que está sujeito a diferentes tipos de amortecimento. Vamos precisar entender um pouquinho de física sobre oscilações e amortecimento, além de usar algumas fórmulas matemáticas para resolver cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a equação de um oscilador amortecido. A equação diferencial que descreve o movimento é:
Aqui, $ \gamma $ é o coeficiente de amortecimento e $ \omega_0 $ é a frequência angular natural do sistema. Dependendo do valor de $ \gamma $, o sistema pode ser:
- Oscilatório sem amortecimento ($ \gamma = 0 $)
- Subamortecido ($ \gamma < \omega_0 $)
- Criticamente amortecido ($ \gamma = \omega_0 $)
- Superamortecido ($ \gamma > \omega_0 $)
Vamos considerar cada caso separadamente.
Passo 3
Caso (a): $ \gamma = 0 , s^{-1} $
Nesse caso, não há amortecimento. A equação fica:
A solução geral para essa equação é:
Vamos usar as condições iniciais: $ x(0) = 0 $ e $ v_0 = x’(0) = 5 , cm/s $.
Aplicando $ t = 0 $:
Derivando $ x(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Substituindo $ A $ e $ B $ na solução:
Como $ \omega_0 = 1 , rad/s $:
Passo 4
Caso (b): $ \gamma = 0,1 , s^{-1} $
Aqui, temos um amortecimento fraco porque $ \gamma < \omega_0 $. A solução geral é:
Onde $ \omega’ = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} $.
Calculando $ \omega’ $:
Usando as condições iniciais:
Derivando $ x(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Substituindo na solução:
Aproximando para facilitar:
Passo 5
Caso ©: $ \gamma = 1 , s^{-1} $
Esse é o caso crítico, onde $ \gamma = \omega_0 $. A solução geral para o amortecimento crítico é:
Usando as condições iniciais:
Derivando $ x(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Portanto, a solução é:
Passo 6
Caso (d): $ \gamma = 2,0 , s^{-1} $
Nesse caso, $ \gamma > \omega_0 $, então temos amortecimento supercrítico. A solução geral é:
Onde $ \omega’’ = \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} $.
Calculando $ \omega’’ $:
Usando as condições iniciais:
Derivando $ x(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Substituindo $ A $ e $ B $:
Simplificando:
Passo 7
Caso (e): $ \gamma = 3,0 , s^{-1} $
Aqui, também temos amortecimento supercrítico. Calculamos $ \omega’’ $:
Usando as condições iniciais:
Derivando $ x(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Substituindo $ A $ e $ B $:
Simplificando:
Resposta
As soluções para $ x(t) $ em cada caso são:
a) $ x(t) = 5 \sin(t) , cm $
b) $ x(t) \approx 5 , e^{-0.1 t} \sin(t) , cm $
c) $ x(t) = 5 t e^{-t} , cm $
d) $ x(t) = 2.5 \left( e^{-0.268 t} - e^{-3.732 t} \right) , cm $
e) $ x(t) = 1.667 \left( e^{-0.172 t} - e^{-5.828 t} \right) , cm $