A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de 1 r a d / s. No instante inicial t=0 o oscilador é posto em movimento com velocidade v0=5 c m / s, estando na posição x0=0. Encontre x(t) e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos: (a) gamma=0 s^-1; (b) gamma=0,1 s^-1; © gamma=1 s^-1; (d) gamma=2,0 s^-1; (e) gamma=3,0 s^-1
Resp.: a) x(t)=0 , 0 5 sen(t), OHS ; b) x(t)=0,05 e^-0,05 t sen(t), fraco; c) x(t)=0 , 0 6 e^-0,5 t sen(0,87 t), subcrítico; d) x(t)=0 , 0 5 t e^-t, crítico; e) x(t)=0 , 0 2 2 e^-1,5 t(e^+1,12 t-e^-1,12 t), supercrítico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre osciladores amortecidos! A questão pede para encontrar a posição $ x(t) $ de um oscilador que está sujeito a diferentes tipos de amortecimento. Vamos precisar entender um pouquinho de física sobre oscilações e amortecimento, além de usar algumas fórmulas matemáticas para resolver cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a equação de um oscilador amortecido. A equação diferencial que descreve o movimento é:
x''(t) + 2gamma x'(t) + omega0^2 x(t) = 0
Aqui, $ \gamma $ é o coeficiente de amortecimento e $ \omega_0 $ é a frequência angular natural do sistema. Dependendo do valor de $ \gamma $, o sistema pode ser:
  • Oscilatório sem amortecimento ($ \gamma = 0 $)
  • Subamortecido ($ \gamma < \omega_0 $)
  • Criticamente amortecido ($ \gamma = \omega_0 $)
  • Superamortecido ($ \gamma > \omega_0 $)
Vamos considerar cada caso separadamente.

Passo 3

Caso (a): $ \gamma = 0 , s^{-1} $
Nesse caso, não há amortecimento. A equação fica:
gamma = 0 , s^-1
A solução geral para essa equação é:
x''(t) + omega0^2 x(t) = 0
Vamos usar as condições iniciais: $ x(0) = 0 $ e $ v_0 = x’(0) = 5 , cm/s $.
Aplicando $ t = 0 $:
x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
Derivando $ x(t) $:
x(0) = 0
Aplicando $ t = 0 $:
v0 = x'(0) = 5 , cm/s
Substituindo $ A $ e $ B $ na solução:
t = 0
Como $ \omega_0 = 1 , rad/s $:
0 = A cos(0) + B sin(0) Rightarrow A = 0

Passo 4

Caso (b): $ \gamma = 0,1 , s^{-1} $
Aqui, temos um amortecimento fraco porque $ \gamma < \omega_0 $. A solução geral é:
gamma = 0,1 , s^-1
Onde $ \omega’ = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} $.
Calculando $ \omega’ $:
gamma < omega0
Usando as condições iniciais:
x(t) = e^-gamma t ( A cos(omega' t) + B sin(omega' t) )
Derivando $ x(t) $:
omega' = raizomega0^2 - gamma^2
Aplicando $ t = 0 $:
omega'
Substituindo na solução:
omega' = raiz1^2 - 0.1^2 = raiz0.99 approx 0.995 , rad/s
Aproximando para facilitar:
x(0) = 0 Rightarrow A = 0

Passo 5

Caso ©: $ \gamma = 1 , s^{-1} $
Esse é o caso crítico, onde $ \gamma = \omega_0 $. A solução geral para o amortecimento crítico é:
gamma = 1 , s^-1
Usando as condições iniciais:
gamma = omega0
Derivando $ x(t) $:
x(t) = (A + Bt) e^-gamma t
Aplicando $ t = 0 $:
x(0) = 0 Rightarrow A = 0
Portanto, a solução é:
x(t)

Passo 6

Caso (d): $ \gamma = 2,0 , s^{-1} $
Nesse caso, $ \gamma > \omega_0 $, então temos amortecimento supercrítico. A solução geral é:
gamma = 2,0 , s^-1
Onde $ \omega’’ = \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} $.
Calculando $ \omega’’ $:
gamma > omega0
Usando as condições iniciais:
x(t) = e^-gamma t ( A e^omega'' t + B e^-omega'' t )
Derivando $ x(t) $:
omega'' = raizgamma^2 - omega0^2
Aplicando $ t = 0 $:
omega''
Substituindo $ A $ e $ B $:
omega'' = raiz2^2 - 1^2 = raiz3 approx 1.732 , rad/s
Simplificando:
x(0) = 0 Rightarrow A + B = 0 Rightarrow B = -A

Passo 7

Caso (e): $ \gamma = 3,0 , s^{-1} $
Aqui, também temos amortecimento supercrítico. Calculamos $ \omega’’ $:
gamma = 3,0 , s^-1
Usando as condições iniciais:
omega''
Derivando $ x(t) $:
omega'' = raiz3^2 - 1^2 = raiz8 approx 2.828 , rad/s
Aplicando $ t = 0 $:
x(0) = 0 Rightarrow A + B = 0 Rightarrow B = -A
Substituindo $ A $ e $ B $:
x(t)
Simplificando:
x'(t) = -3A e^-3t e^2.828 t + 3A e^-3t e^-2.828 t

Resposta

As soluções para $ x(t) $ em cada caso são:
a) $ x(t) = 5 \sin(t) , cm $
b) $ x(t) \approx 5 , e^{-0.1 t} \sin(t) , cm $
c) $ x(t) = 5 t e^{-t} , cm $
d) $ x(t) = 2.5 \left( e^{-0.268 t} - e^{-3.732 t} \right) , cm $
e) $ x(t) = 1.667 \left( e^{-0.172 t} - e^{-5.828 t} \right) , cm $

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