Considere o sistema não-homogêneo \mathbf{X}^{\prime}=\mathbf{A X}+\mathbf{b}, onde \mathbf{A} é uma matriz constante que possui uma inversa \mathbf{A}^{-1} e \mathbf{b} é um vetor constante. (a) Mostre que esse sistema tem a solução de equilíbrio (constante) \mathbf{X}_{0}=-\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}. (b) Mostre que as soluções desse sistema são da forma \mathbf{X}(t)=\mathbf{Y}(t)-\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}, onde \mathbf{Y}(t) é solução do sistema homogêneo associado \mathbf{Y}^{\prime}=\mathbf{A Y}.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de equações diferenciais lineares não-homogêneo
\mathbf{X}'=\mathbf{A}\,\mathbf{X}+\mathbf{b},
onde \mathbf{A} é invertível e \mathbf{b} é constante. Em (a) vamos encontrar o ponto de equilíbrio (solução constante) e em (b) vamos mostrar que, ao deslocar este equilíbrio, o sistema passa a ser homogêneo.

Passo 2

Para achar a solução de equilíbrio \mathbf{X}_{0} buscamos uma solução constante, ou seja, \mathbf{X}'\equiv\mathbf{0}. Substituindo em
\mathbf{X}'=\mathbf{A}\,\mathbf{X}+\mathbf{b}
temos
\mathbf{0}=\mathbf{A}\,\mathbf{X}_{0}+\mathbf{b}.
Como \mathbf{A} é invertível, isolamos \mathbf{X}_{0}:
\mathbf{A}\,\mathbf{X}_{0}=-\mathbf{b} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{X}_{0}=-\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}.

Passo 3

Para (b), fazemos a mudança de variável que desloca o equilíbrio para a origem. Definimos
\mathbf{Y}(t)=\mathbf{X}(t)+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}.
Então
\mathbf{Y}'(t)=\mathbf{X}'(t) =\mathbf{A}\,\mathbf{X}(t)+\mathbf{b} =\mathbf{A}\bigl(\mathbf{Y}(t)-\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\bigr)+\mathbf{b} =\mathbf{A}\,\mathbf{Y}(t)
porque -\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}+\mathbf{b}=\mathbf{0}. Logo \mathbf{Y}(t) satisfaz o sistema homogêneo
\mathbf{Y}'=\mathbf{A}\,\mathbf{Y},
e por fim retornamos à solução original via
\mathbf{X}(t)=\mathbf{Y}(t)-\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{X}_{0}=-\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}.
(b) As soluções gerais são
\mathbf{X}(t)=\mathbf{Y}(t)-\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b},
onde \mathbf{Y}(t) é qualquer solução de \mathbf{Y}'=\mathbf{A}\,\mathbf{Y}.

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