Considere o sistema não-homogêneo
, onde
é uma matriz constante que possui uma inversa
e
é um vetor constante. (a) Mostre que esse sistema tem a solução de equilíbrio (constante)
. (b) Mostre que as soluções desse sistema são da forma
, onde
é solução do sistema homogêneo associado
.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema de equações diferenciais lineares não-homogêneo
onde
é invertível e
é constante. Em (a) vamos encontrar o ponto de equilíbrio (solução constante) e em (b) vamos mostrar que, ao deslocar este equilíbrio, o sistema passa a ser homogêneo.
Passo 2
Para achar a solução de equilíbrio
buscamos uma solução constante, ou seja,
. Substituindo em
temos
Como
é invertível, isolamos
:
Passo 3
Para (b), fazemos a mudança de variável que desloca o equilíbrio para a origem. Definimos
Então
porque
. Logo
satisfaz o sistema homogêneo
e por fim retornamos à solução original via
Resposta
(a)
(b) As soluções gerais são
(b) As soluções gerais são
onde
é qualquer solução de
.