Para o sistema \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=3 x-2 y, \\\ y^{\prime}=2 x-2 y,\end{array}\right. com condições iniciais x(0)=3 e y(0)=A, determine os valores de A que implicam em \lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=0 e \lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de EDO’s com coeficientes constantes
\begin{cases} x' = 3x - 2y,\\\ y' = 2x - 2y, \end{cases}
e condições iniciais x(0)=3 e y(0)=A. O conteúdo é resolução de sistemas lineares por autovalores e autovetores, além de análise de estabilidade (limites quando t\to\infty).

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \mathbf X' = M\mathbf X, onde
M = \begin{pmatrix}3 & -2\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(M-\lambda I) = (3-\lambda)(-2-\lambda) - (-2)\cdot2 = \lambda^2 - \lambda - 2 = 0,
cuja solução é
\lambda_{1} = 2,\qquad \lambda_{2} = -1.
Para \lambda_{1}=2, resolvemos (M-2I)v=0:
\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; x=2y,
escolhemos v_{1}=(2,1).
Para \lambda_{2}=-1, resolvemos (M+I)v=0:
\begin{pmatrix}4 & -2\\\ 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; y=2x,
escolhemos v_{2}=(1,2).

Passo 3

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções próprias:
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_{1}e^{2t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
Isto dá
x(t) = 2C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{-t}, \quad y(t) = C_{1}e^{2t} + 2C_{2}e^{-t}.

Passo 4

Impondo as condições iniciais em t=0\): \[\begin{cases} 2C_{1} + C_{2} = 3,\\\ C_{1} + 2C_{2} = A. \end{cases}
Da primeira equação (C_{2}=3 - 2C_{1}]. Substituindo na segunda:
C_{1} + 2(3 - 2C_{1}) = A \;\Longrightarrow\; -3C_{1} + 6 = A \;\Longrightarrow\; C_{1} = 2 - \frac{A}{3}.
Em seguida
C_{2} = 3 - 2\Bigl(2 - \frac{A}{3}\Bigr) = -1 + \frac{2A}{3}.

Passo 5

Para que \lim_{t\to\infty}x(t)=0 e \lim_{t\to\infty}y(t)=0, a parte e^{2t} (autovalor \lambda_{1}=2) não pode estar presente, ou seja C_{1}=0. Assim
2 - \frac{A}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; A = 6.

Resposta

A = 6

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