Para quais valores de B o sistema \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-2 x+B y, \\\ y^{\prime}=-x+2 y\end{array}\right. admite soluções oscilatórias?

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um sistema linear em (x,y) dado por
\begin{cases} x' = -2x + B\,y,\\\ y' = -x + 2y.
O conteúdo é de sistemas lineares e estabilidade. Para que as soluções sejam oscilatórias, o ponto de equilíbrio deve ser um centro, ou seja, os autovalores devem ser puros imaginários.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial como
\begin{pmatrix} x'\\\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x\\\ y \end{pmatrix},
onde
A = \begin{pmatrix} -2 & B\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o traço e o determinante de A.
\mathrm{tr}\,A = -2 + 2 = 0,
\det A = (-2)\cdot 2 - \bigl(B\cdot(-1)\bigr) = -4 + B = B - 4.

Passo 4

A equação característica é
\lambda^{2} - (\mathrm{tr}\,A)\,\lambda + \det A = 0
que, como \mathrm{tr}\,A=0, fica
\lambda^{2} + (B - 4) = 0.
Logo
\lambda = \pm \sqrt{4 - B}.
Para que \lambda seja imaginário puro, é necessário que o discriminante seja negativo, ou seja,
4 - B < 0.

Passo 5

Resolvendo a desigualdade 4 - B < 0 obtemos
B > 4.
Portanto, o sistema admite soluções oscilatórias se, e somente se, B > 4.

Resposta

B>4

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