Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=e^{z}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin da função f(z)=e^z. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor centrada em 0 (série de Maclaurin), que utiliza as derivadas de f avaliadas em 0.

Passo 2

A definição de série de Maclaurin para uma função f é
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,z^n.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f(z)=e^z. Como
f^{(n)}(z)=e^z
para todo n, temos
f^{(n)}(0)=e^0=1.

Passo 4

Substituindo f^{(n)}(0)=1 na fórmula da série, obtemos
e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^n.

Resposta

f(z)=e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.

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