a) Verifique que a matriz X1=[lx y z]=[c1 13 0] é uma solução para o sistema.
b) Resolva o sistema e verifique que toda “matriz-solução” é da forma
X=[l x y z ]=lambda[r -4 2 1 ]+[r -1 13 0 ]
onde lambda in R.
c) Verifique
lambda[r -4 2 1 ]=[r -4 lambda 2 lambda lambda ]
é a solução do sistema homogêneo, associado ao sistema (*),
(* *)[lll 1 & 6 & -8 2 & 6 & -4 ][l x y z ]=[l 0 0 ]
d) Conclua, dos itens a ), b) e c ), que o conjunto-solução do sistema : é o conjunto-solução do sistema ^* *, somado a uma solução particular do sistema *.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear
x + 6y - 8z = 1, 2x + 6y - 4z = 0
usando (i) uma solução particular dada, (ii) a solução geral em função de um parâmetro, (iii) a solução do sistema homogêneo associado e (iv) concluir que a solução geral é a soma de uma particular e das soluções homogêneas.
Passo 2
Substituindo
logo não satisfaz o sistema. Há, portanto, um erro tipográfico. Para encontrar um vetor particular correto, tomamos e resolvemos
Subtraindo a primeira da segunda obtemos . Assim, um vetor particular é
]
Passo 3
Para a solução geral, definimos e substituímos em
Da primeira equação vem
Na segunda:
Logo
Portanto
]
Passo 4
Para verificar que
substituímos , . Então
confirmando que é solução do sistema homogêneo.
Passo 5
Da combinação de uma solução particular com qualquer vetor do núcleo obtemos a solução geral. Concluímos que o conjunto-solução do sistema original é