Considere o sistema
r x+6 y-8 z=1 2 x+6 y-4 z=0
Note que podemos escrevê-lo na forma matricial
[lll 1 & 6 & -8 2 & 6 & -4 ][l x y z ]=[l 1 0 ]
a) Verifique que a matriz X1=[lx y z]=[c1 13 0] é uma solução para o sistema.
b) Resolva o sistema e verifique que toda “matriz-solução” é da forma
X=[l x y z ]=lambda[r -4 2 1 ]+[r -1 13 0 ]
onde lambda in R.
c) Verifique
lambda[r -4 2 1 ]=[r -4 lambda 2 lambda lambda ]
é a solução do sistema homogêneo, associado ao sistema (*),
(* *)[lll 1 & 6 & -8 2 & 6 & -4 ][l x y z ]=[l 0 0 ]
d) Conclua, dos itens a ), b) e c ), que o conjunto-solução do sistema : é o conjunto-solução do sistema ^* *, somado a uma solução particular do sistema *.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x + 6y - 8z = 1, 2x + 6y - 4z = 0
usando (i) uma solução particular dada, (ii) a solução geral em função de um parâmetro, (iii) a solução do sistema homogêneo associado e (iv) concluir que a solução geral é a soma de uma particular e das soluções homogêneas.

Passo 2

Substituindo
logo não satisfaz o sistema. Há, portanto, um erro tipográfico. Para encontrar um vetor particular correto, tomamos e resolvemos
Subtraindo a primeira da segunda obtemos . Assim, um vetor particular é
]

Passo 3

Para a solução geral, definimos e substituímos em
Da primeira equação vem
Na segunda:
Logo
Portanto
]

Passo 4

Para verificar que
substituímos , . Então
confirmando que é solução do sistema homogêneo.

Passo 5

Da combinação de uma solução particular com qualquer vetor do núcleo obtemos a solução geral. Concluímos que o conjunto-solução do sistema original é
, lambda-421 + -1[3pt]tfrac13[3pt]0 ;m|;lambdainR ]

Resposta

boxed , lambda-421 + -1[3pt]tfrac13[3pt]0 ;m|;lambdainR ]

Exercícios relacionados