Dado o sistema
[llll 1 & 2 & 0 & -1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 2 & 2 & -1 3 & 4 & 4 & -3 ][c x y z w ]=[l 2 2 4 8 ]
a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo. (Atribua valores para x, y, z e w.)
b) Agora, resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-sriução.
c) Resolva também o sistema homogêneo associado.
d) Verifique que toda matriz-solução obtida em b ) é a soma de uma matriz–solução encontrada em com a solução particular que você encontrou em a ).

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear 4times4 e pede quatro coisas:
– (a) encontrar uma solução particular “na mão” sem montar toda a eliminação;
– (b) resolver de verdade o sistema, isto é, achar a forma geral da solução (matriz-solução);
– (c) resolver o sistema homogêneo associado;
– (d) verificar que toda solução geral é a soma de uma solução particular com uma solução homogênea.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e decomposição em parte particular mais parte homogênea.

Passo 2

Para achar uma solução particular sem resolver tudo, escolho arbitrariamente
Da segunda equação, se eu escolher . Da primeira, . Por fim, na quarta:
que confere. Logo uma solução particular é

Passo 3

Agora montamos a matriz aumentada e aplicamos Gauss:
[cccc|c 1&2&0&-1&2 1&0&2&-1&2 1&2&2&-1&4 3&4&4&-3&8 ]
Fazendo
L2L2-L1,;L3L3-L1,;L4L4-3L1
obtém-se
[cccc|c 1&2&0&-1&2 0&-2&2&0&0 0&0&2&0&2 0&-2&4&0&2 ]
Então
L4L4-L2 e escalo L2/(-2), L3/2, chegando a
[cccc|c 1&2&0&-1&2 0&1&-1&0&0 0&0&1&0&1 0&0&0&0&0 ]
Isso mostra que a única variável livre é w. Da terceira linha vem z=1. Da segunda, y-z=0 y=1. Da primeira, x+2y-w=2 x+2cdot1-w=2implies x=w.

Passo 4

Como é livre, ponho . Então
e o conjunto solução é

Passo 5

No sistema homogêneo basta trocar o vetor de termos independentes por zero. O mesmo procedimento dá
isto é

Passo 6

Comparando com a solução geral de b, vemos que
0110 +t1001
é justamente a soma de uma solução particular l(0,1,1,0r) com uma solução do homogêneo t(1,0,0,1). Logo a verificação em d está pronta.

Resposta

(a) Uma solução particular é
(b) A solução geral é
(c) O sistema homogêneo tem solução
(d) De fato, toda solução de é a soma da solução particular de com uma solução do homogêneo de .

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