Considere o sistema A X=0 onde A=[lll2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2].
Encontre uma base ortornormal para R^3 B=V1, V2, V3 onde o maior número possível de vetores pertence ao espaço solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
A X = 0,
com
A = 2 & 2 & 22 & 2 & 22 & 2 & 2
Estamos em R^3. Como todas as linhas de A são iguais, rank(A)=1 e o espaço solução (o núcleo) tem dimensão 3-1=2. Precisamos achar uma base ortonormal V1,V2,V3 de R^3 tal que o máximo possível de vetores (isto é, 2 vetores) pertençam ao núcleo de A.

Passo 2

Caracterizamos o núcleo por
A X = 0 ;Long<=ftrightarrow; 2(x1+x2+x3)=0 ;Long<=ftrightarrow; x1+x2+x3=0
Logo o núcleo é o plano (x1,x2,x3)mid x1+x2+x3=0. Escolhemos dois vetores independentes nesse plano, por exemplo
w1 = (1,-1,0), w2 = (1,1,-2)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em w1,w2 para tornar ortonormais. Primeiro normalizamos w1:
|w1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2,
então
u1 = w1|w1| = 1raiz2(1,-1,0)

Passo 4

Depois ortogonalizamos w2 em relação a u1. O coeficiente de projeção é
lang<= w2, u1rang<= = (1,1,-2)cdot1raiz2(1,-1,0) = 1 -1 + 0raiz2 = 0
Surpresa: w2 já é ortogonal a u1. Então basta normalizar w2:
|w2| = raiz1^2+1^2+(-2)^2=raiz6,
u2 = w2|w2| = 1raiz6(1,1,-2)

Passo 5

Por fim, escolhemos u3 ortogonal ao plano x1+x2+x3=0. Um vetor normal é (1,1,1). Normalizando:
| (1,1,1)| = raiz3,
u3 = 1raiz3(1,1,1)
Verifica-se que u1,u2,u3 é ortonormal em R^3, e u1,u2 satisfazem x1+x2+x3=0.

Resposta

V1 = 1raiz2(1,-1,0), V2 = 1raiz6(1,1,-2), V3 = 1raiz3(1,1,1)

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