Considere o sistema onde .
Encontre uma base ortornormal para R^3 B=V1, V2, V3 onde o maior número possível de vetores pertence ao espaço solução do sistema.
Passo 1
O enunciado dá o sistema homogêneo
A X = 0,
com
A = 2 & 2 & 22 & 2 & 22 & 2 & 2
Estamos em R^3. Como todas as linhas de A são iguais, rank(A)=1 e o espaço solução (o núcleo) tem dimensão 3-1=2. Precisamos achar uma base ortonormal V1,V2,V3 de R^3 tal que o máximo possível de vetores (isto é, 2 vetores) pertençam ao núcleo de A.
Passo 2
Caracterizamos o núcleo por
A X = 0 ;Long<=ftrightarrow; 2(x1+x2+x3)=0 ;Long<=ftrightarrow; x1+x2+x3=0
Logo o núcleo é o plano (x1,x2,x3)mid x1+x2+x3=0. Escolhemos dois vetores independentes nesse plano, por exemplo
w1 = (1,-1,0), w2 = (1,1,-2)
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt em w1,w2 para tornar ortonormais. Primeiro normalizamos w1:
|w1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2,
então
u1 = w1|w1| = 1raiz2(1,-1,0)
Passo 4
Depois ortogonalizamos w2 em relação a u1. O coeficiente de projeção é