Seja
um vetor de um
-espaço vetorial
de dimensão finita
cujas coordenadas em uma base de
são
, sendo
. Existe alguma base de
na qual as coordenadas de
sejam
? Justifique.
Passo 1
O enunciado fala de um espaço vetorial
sobre um corpo
de dimensão finita
. Num certa base de
, o vetor
tem coordenadas
com a condição
. Queremos achar uma nova base de
em que as coordenadas de
sejam
Para isso usaremos os fatos de que (i) se
então
pode ser estendido a uma base de
, e (ii) a coordenada de
em si mesma é 1 na posição correspondente e zero nas demais.
Passo 2
Mostramos que
. Se
então todas as suas coordenadas seriam zero, em particular
e
, o que contradiz
. Logo
.
Passo 3
Pelo lema da base, qualquer vetor não nulo em um espaço de dimensão finita pode ser escolhido como primeiro vetor de uma base e depois completado por vetores
tais que
é uma base de
.
Passo 4
Na base
, por construção, o próprio
tem coordenadas
pois ele aparece como primeiro vetor da base com coeficiente 1 e nenhum outro vetor da combinação.
Resposta
Sim. Existe tal base, basta estender o vetor não nulo
a uma base de
, fazendo com que suas coordenadas fiquem
.