Seja v um vetor de um K-espaço vetorial V de dimensão finita n >= 3 cujas coordenadas em uma base de V são (x1, ldots, xn), sendo x2 neq x3. Existe alguma base de V na qual as coordenadas de v sejam (1,0, ldots, 0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado fala de um espaço vetorial V sobre um corpo K de dimensão finita n>=3. Num certa base de V, o vetor v tem coordenadas l(x1,dots,xnr) com a condição x2neq x3. Queremos achar uma nova base de V em que as coordenadas de v sejam
(1,0,dots,0)
Para isso usaremos os fatos de que (i) se vneq0 então v pode ser estendido a uma base de V, e (ii) a coordenada de v em si mesma é 1 na posição correspondente e zero nas demais.

Passo 2

Mostramos que vneq0. Se v=0 então todas as suas coordenadas seriam zero, em particular x2=0 e x3=0, o que contradiz x2neq x3. Logo vneq0.

Passo 3

Pelo lema da base, qualquer vetor não nulo em um espaço de dimensão finita pode ser escolhido como primeiro vetor de uma base e depois completado por vetores w2,dots,wn tais que
,v,w2,dots,wn
é uma base de V.

Passo 4

Na base ,v,w2,dots,wn, por construção, o próprio v tem coordenadas
(1,0,dots,0),
pois ele aparece como primeiro vetor da base com coeficiente 1 e nenhum outro vetor da combinação.

Resposta

Sim. Existe tal base, basta estender o vetor não nulo v a uma base de V, fazendo com que suas coordenadas fiquem (1,0,dots,0).

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