Seja B uma base de V^3 e seja a um número real. Considere os vetores u, v e w satisfazendo [u]B=(a, 1, a+1),[v]B=(1,2,-a) e [w]B=(1,1,1). Se o conjunto u, v, w é linearmente dependente, então podemos afirmar que la alpha, beta in mid R
(d) -11<a<-3

Passo 1

O enunciado diz que em uma base B de um espaço vetorial tridimensional temos as coordenadas
vec umapsto (a,1,a+1),
vec vmapsto (1,2,-a) e
vec wmapsto (1,1,1).
Como queremos saber para quais valores de a o conjunto vec u,vec v,vec w é linearmente dependente, vamos usar a teoria de determinantes de matrizes de ordenação 3.

Passo 2

Em coordenadas relativas à mesma base, vec u,vec v,vec w é linearmente dependente se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas desses vetores for zero. Vamos formar a matriz cujas linhas são (a,1,a+1), (1,2,-a) e (1,1,1).

Passo 3

A matriz é
M = a & 1 & a+1 1 & 2 & -a 1 & 1 & 1
Calculamos
det M = a2 & -a1 & 1 -11 & -a1 & 1 +(a+1)1 & 21 & 1
Cada menor é
2 & -a1 & 1=2cdot1-(-a)cdot1=a+2, 1 & -a1 & 1=1cdot1-(-a)cdot1=a+1, 1 & 21 & 1=1cdot1-2cdot1=-1
Logo
det M = a(a+2);-;(a+1);+;(a+1)(-1) = a^2+2a - (a+1) - (a+1) = a^2-2

Passo 4

Impondo det M=0 para dependência linear, obtém-se
a^2-2=0 Longrightarrow a^2=2 Longrightarrow a=pmraiz2

Resposta

Os valores de a que tornam vec u,vec v,vec w linearmente dependente são
a = raiz2 ou a = -raiz2

Exercícios relacionados