Considere a superfície X(u, v)=(u, v, f(u, v)), onde f: U subset R^3 R é uma função diferenciável. Obtenha a aplicação normal N(u, v).

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície gráfica de uma função diferenciável f=f(u,v), dada por
X(u,v) = (,u,;v,;f(u,v),)
Queremos obter a aplicação normal unitária N(u,v). Para isso vamos usar a definição de vetores tangentes partialu X e partialv X e o produto vetorial, seguido de normalização.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de X em relação a u e v. Como fu=partial f/partial u e fv=partial f/partial v, temos
partialu X = Xu = (,1,;0,;fu,), partialv X = Xv = (,0,;1,;fv,)

Passo 3

O vetor normal não unitário é dado pelo produto vetorial
Xu times Xv = i & j & k 1 & 0 & fu 0 & 1 & fv = (-fu,,-fv,,1)

Passo 4

Para obter a normal unitária, dividimos pelo comprimento deste vetor. O seu módulo é
|Xutimes Xv| = raiz(-fu)^2 +(-fv)^2 +1^2 = raiz1 + fu^2 + fv^2
Logo a aplicação normal unitária é
N(u,v) = 1raiz1 + fu^2 + fv^2;(-fu,,-fv,,1)

Resposta

N(u,v) = 1raiz1 + l(fu(u,v)r)^2 + l(fv(u,v)r)^2 l(,-fu(u,v),,-fv(u,v),,1r)

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