Em um processo de produção, a probabilidade de um item ser defeituoso é
. Se 500 itens são produzidos, use a aproximação normal para estimar a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos.
30 - Um caminhante aleatório realiza 500 passos em uma linha reta. Cada passo tem comprimento
, e a probabilidade de cada passo ser para a direita é
, enquanto a probabilidade de ser para a esquerda é
. Use a aproximação gaussiana para calcular a probabilidade de que o caminhante esteja entre as posições
e
após 500 passos.
30 - Um caminhante aleatório realiza 500 passos em uma linha reta. Cada passo tem comprimento
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos perguntando. Temos um processo de produção onde a probabilidade de um item ser defeituoso é
. Produzimos 500 itens e queremos estimar, usando a aproximação normal, a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial e aproximá-la pela distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, identificamos os parâmetros da distribuição binomial. Aqui, o número de tentativas é
e a probabilidade de sucesso (um item ser defeituoso) é
.
Passo 3
Calculamos a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial:
Passo 4
Utilizamos a aproximação normal para estimar a probabilidade. Aplicamos a correção de continuidade, já que estamos aproximando uma distribuição discreta (binomial) por uma contínua (normal). Queremos encontrar
.
Assim, ajustamos os limites:
Passo 5
Padronizamos os valores usando a fórmula do escore z:
Para
:
Para
:
Passo 6
Consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes aos valores de
calculados.
Passo 7
Calculamos a probabilidade desejada subtraindo as duas probabilidades encontradas:
Passo 8
Vamos analisar a segunda questão. Um caminhante dá 500 passos em linha reta, cada um com comprimento
. A probabilidade de dar um passo para a direita é
e para a esquerda
. Queremos calcular, usando a aproximação gaussiana, a probabilidade de que o caminhante esteja entre
e
após esses passos.
Passo 9
Primeiro, entendemos que cada passo para a direita aumenta a posição em 1 m e cada passo para a esquerda diminui em 1 m. O deslocamento total após 500 passos depende da diferença entre o número de passos para a direita e para a esquerda.
Passo 10
Definimos a variável aleatória
como o número de passos para a direita. Então,
segue uma distribuição binomial com
e
. O deslocamento final
é dado por:
Queremos que
esteja entre 40 m e 50 m:
Passo 11
Resolvendo a inequação para
:
Passo 12
Agora, aproximamos a distribuição binomial de
por uma distribuição normal com média
e variância
. O desvio padrão é
.
Passo 13
Aplicamos a correção de continuidade para calcular
:
Padronizamos usando o escore
:
Para
:
Para
:
Passo 14
Consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes:
Calculamos a probabilidade desejada:
Resposta
A probabilidade de o caminhante estar entre 40 m e 50 m após 500 passos é aproximadamente
.