Em um processo de produção, a probabilidade de um item ser defeituoso é p=0,03. Se 500 itens são produzidos, use a aproximação normal para estimar a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos.
30 - Um caminhante aleatório realiza 500 passos em uma linha reta. Cada passo tem comprimento l=1 m, e a probabilidade de cada passo ser para a direita é p=0,6, enquanto a probabilidade de ser para a esquerda é q=0,4. Use a aproximação gaussiana para calcular a probabilidade de que o caminhante esteja entre as posições x=40 m e x=50 m após 500 passos.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos perguntando. Temos um processo de produção onde a probabilidade de um item ser defeituoso é p = 0,03. Produzimos 500 itens e queremos estimar, usando a aproximação normal, a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial e aproximá-la pela distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, identificamos os parâmetros da distribuição binomial. Aqui, o número de tentativas é n = 500 e a probabilidade de sucesso (um item ser defeituoso) é p = 0,03.

Passo 3

Calculamos a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) da distribuição binomial:
mu = n times p = 500 times 0,03 = 15
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz500 times 0,03 times 0,97 approx raiz14,55 approx 3,81

Passo 4

Utilizamos a aproximação normal para estimar a probabilidade. Aplicamos a correção de continuidade, já que estamos aproximando uma distribuição discreta (binomial) por uma contínua (normal). Queremos encontrar P(10 <= X <= 20).
Assim, ajustamos os limites:
P(9,5 < X < 20,5)

Passo 5

Padronizamos os valores usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Para X = 9,5:
z1 = 9,5 - 153,81 approx -5,53,81 approx -1,44
Para X = 20,5:
z2 = 20,5 - 153,81 approx 5,53,81 approx 1,44

Passo 6

Consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes aos valores de z calculados.
P(z < 1,44) approx 0,9251
P(z < -1,44) approx 0,0749

Passo 7

Calculamos a probabilidade desejada subtraindo as duas probabilidades encontradas:
P(-1,44 < z < 1,44) = 0,9251 - 0,0749 = 0,8502

Passo 8

Vamos analisar a segunda questão. Um caminhante dá 500 passos em linha reta, cada um com comprimento l = 1 m. A probabilidade de dar um passo para a direita é p = 0,6 e para a esquerda q = 0,4. Queremos calcular, usando a aproximação gaussiana, a probabilidade de que o caminhante esteja entre x = 40 m e x = 50 m após esses passos.

Passo 9

Primeiro, entendemos que cada passo para a direita aumenta a posição em 1 m e cada passo para a esquerda diminui em 1 m. O deslocamento total após 500 passos depende da diferença entre o número de passos para a direita e para a esquerda.

Passo 10

Definimos a variável aleatória X como o número de passos para a direita. Então, X segue uma distribuição binomial com n = 500 e p = 0,6. O deslocamento final S é dado por:
S = (X - (500 - X)) times 1 = (2X - 500) m
Queremos que S esteja entre 40 m e 50 m:
40 <= 2X - 500 <= 50

Passo 11

Resolvendo a inequação para X:
40 <= 2X - 500 <= 50
540 <= 2X <= 550
270 <= X <= 275

Passo 12

Agora, aproximamos a distribuição binomial de X por uma distribuição normal com média mu = n times p = 500 times 0,6 = 300 e variância sigma^2 = n times p times (1 - p) = 500 times 0,6 times 0,4 = 120. O desvio padrão é sigma approx 10,95.

Passo 13

Aplicamos a correção de continuidade para calcular P(270 <= X <= 275):
P(269,5 < X < 275,5)
Padronizamos usando o escore z:
Para X = 269,5:
z1 = 269,5 - 30010,95 approx -30,510,95 approx -2,78
Para X = 275,5:
z2 = 275,5 - 30010,95 approx -24,510,95 approx -2,24

Passo 14

Consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes:
P(z < -2,24) approx 0,0125
P(z < -2,78) approx 0,0027
Calculamos a probabilidade desejada:
P(-2,78 < z < -2,24) = 0,0125 - 0,0027 = 0,0098

Resposta

A probabilidade de o caminhante estar entre 40 m e 50 m após 500 passos é aproximadamente 0,98%.

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