Considere o sistema de ponto flutuante
. Responda os itens a seguir, justificando corretamente:
© Mostre que a quantidade de números de ponto flutuante possíveis de serem representados de forma exata neste sistema é
© Mostre que a quantidade de números de ponto flutuante possíveis de serem representados de forma exata neste sistema é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a quantidade de números de ponto flutuante que podem ser representados exatamente num sistema
é dada pela fórmula
. A matéria aqui envolve sistemas de ponto flutuante, que são usados pra representar números reais na computação. Vamos precisar entender como esses números são formados com base na base
, no número de dígitos significativos
, e no intervalo dos expoentes de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na parte do significand ou mantissa, que tem
dígitos. No sistema de ponto flutuante, geralmente a mantissa é normalizada, o que significa que o primeiro dígito é não zero. Como a base é
, temos
opções pra esse primeiro dígito (de 1 a
).
Passo 3
Para os outros
dígitos da mantissa, cada um pode variar de 0 a
, então temos
combinações possíveis pra esses dígitos. Multiplicando pelo número de opções do primeiro dígito, a quantidade total de mantissas normalizadas é
.
Passo 4
Agora, vamos considerar os expoentes. Eles variam de
a
, ou seja, temos
valores possíveis de expoentes. Cada mantissa pode ser associada a qualquer um desses expoentes, então multiplicamos pela quantidade de mantissas:
.
Passo 5
Além disso, cada número pode ser positivo ou negativo, então temos que multiplicar por 2 para considerar os sinais:
.
Passo 6
Por último, não podemos esquecer do zero, que é um caso especial e único no sistema de ponto flutuante. Por isso, adicionamos +1 à nossa contagem.
Resposta
Então, a quantidade de números de ponto flutuante possíveis de serem representados exatamente nesse sistema é: