Considere o sistema de ponto flutuante F(b, n, e1, e2). Responda os itens a seguir, justificando corretamente:
© Mostre que a quantidade de números de ponto flutuante possíveis de serem representados de forma exata neste sistema é
C(F) = 2(b-1) b^(n-1)(e2 - e1 + 1) + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a quantidade de números de ponto flutuante que podem ser representados exatamente num sistema é dada pela fórmula . A matéria aqui envolve sistemas de ponto flutuante, que são usados pra representar números reais na computação. Vamos precisar entender como esses números são formados com base na base , no número de dígitos significativos , e no intervalo dos expoentes de a .

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na parte do significand ou mantissa, que tem dígitos. No sistema de ponto flutuante, geralmente a mantissa é normalizada, o que significa que o primeiro dígito é não zero. Como a base é , temos opções pra esse primeiro dígito (de 1 a ).

Passo 3

Para os outros dígitos da mantissa, cada um pode variar de 0 a , então temos combinações possíveis pra esses dígitos. Multiplicando pelo número de opções do primeiro dígito, a quantidade total de mantissas normalizadas é .

Passo 4

Agora, vamos considerar os expoentes. Eles variam de a , ou seja, temos valores possíveis de expoentes. Cada mantissa pode ser associada a qualquer um desses expoentes, então multiplicamos pela quantidade de mantissas: .

Passo 5

Além disso, cada número pode ser positivo ou negativo, então temos que multiplicar por 2 para considerar os sinais: .

Passo 6

Por último, não podemos esquecer do zero, que é um caso especial e único no sistema de ponto flutuante. Por isso, adicionamos +1 à nossa contagem.

Resposta

Então, a quantidade de números de ponto flutuante possíveis de serem representados exatamente nesse sistema é:

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