Seja x um número inteiro. Prove que x é ímpar se e somente se existe um número inteiro b de modo que x = 2b - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que um número inteiro x é ímpar se e somente se existe um número inteiro b tal que . Isso está dentro da matéria de Teoria dos Números, mais especificamente sobre números pares e ímpares. Vamos precisar entender o que significa um número ser ímpar e trabalhar com equações simples para chegar à prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número ímpar. Um número é ímpar se ele não é divisível por 2, ou seja, quando você divide por 2, sobra 1. Por exemplo, 3 é ímpar porque com resto 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Aqui, b é um número inteiro. Se multiplicarmos b por 2, obtemos um número par (porque qualquer número multiplicado por 2 é par). Ao subtrair 1 desse número par, o resultado sempre será ímpar. Por exemplo, se , então , que é ímpar.

Passo 4

Então, se existe um inteiro b tal que , isso garante que x é ímpar. Isso mostra uma direção: se a expressão existe para algum inteiro b, então x é ímpar.

Passo 5

Agora, precisamos provar o recíproco: se x é ímpar, então existe um inteiro b tal que . Sabemos que x é ímpar, então podemos escrevê-lo como , onde k é algum inteiro.

Passo 6

Vamos manipular um pouco essa expressão para chegar na forma . Começamos com:
Queremos que a expressão tenha o -1, então subtraímos 2 de ambos os lados:
Agora, reescrevemos:
Aqui, podemos deixar , que ainda é um número inteiro se k for inteiro.

Passo 7

Assim, conseguimos expressar x como , onde b é o inteiro . Isso prova que se x é ímpar, então existe um inteiro b tal que .

Resposta

Portanto, provamos que um número inteiro x é ímpar se e somente se existe um inteiro b tal que .

Exercícios relacionados