Seja
um número inteiro. Prove que
é ímpar se e somente se existe um número inteiro
de modo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que um número inteiro
é ímpar se e somente se existe um número inteiro
tal que
. Isso está dentro da matéria de Teoria dos Números, mais especificamente sobre números pares e ímpares. Vamos precisar entender o que significa um número ser ímpar e trabalhar com equações simples para chegar à prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número ímpar. Um número é ímpar se ele não é divisível por 2, ou seja, quando você divide por 2, sobra 1. Por exemplo, 3 é ímpar porque
com resto 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Aqui,
é um número inteiro. Se multiplicarmos
por 2, obtemos um número par (porque qualquer número multiplicado por 2 é par). Ao subtrair 1 desse número par, o resultado sempre será ímpar. Por exemplo, se
, então
, que é ímpar.
Passo 4
Então, se existe um inteiro
tal que
, isso garante que
é ímpar. Isso mostra uma direção: se a expressão
existe para algum inteiro
, então
é ímpar.
Passo 5
Agora, precisamos provar o recíproco: se
é ímpar, então existe um inteiro
tal que
. Sabemos que
é ímpar, então podemos escrevê-lo como
, onde
é algum inteiro.
Passo 6
Vamos manipular um pouco essa expressão para chegar na forma
. Começamos com:
Queremos que a expressão tenha o
, então subtraímos 2 de ambos os lados:
Agora, reescrevemos:
Aqui, podemos deixar
, que ainda é um número inteiro se
for inteiro.
Passo 7
Assim, conseguimos expressar
como
, onde
é o inteiro
. Isso prova que se
é ímpar, então existe um inteiro
tal que
.
Resposta
Portanto, provamos que um número inteiro
é ímpar se e somente se existe um inteiro
tal que
.