Considere o Sistema de Ponto Flutuante SPF (3,2,-1,2). Determine:
a) O menor positivo exatamente representável.
b) O maior positivo exatamente representável.
c) A quantidade de positivos exatamente representável.
d) A quantidade de números representáveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício sobre Sistema de Ponto Flutuante (SPF), especificamente o SPF (3,2,-1,2). Isso significa que estamos lidando com um sistema que tem:
  • 3 bits para a mantissa: que determina a precisão do número.
  • 2 bits para o expoente: que define a escala ou o tamanho do número.
  • Expoente mínimo de -1 e máximo de 2: isso nos dá o intervalo de potências que podemos representar.
Vamos precisar entender como esses componentes funcionam juntos para representar números e, com isso, responder as perguntas sobre o menor e maior números positivos representáveis, além de quantidades de números que podemos representar.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o menor positivo exatamente representável no sistema SPF (3,2,-1,2).
No sistema de ponto flutuante, o menor número positivo é aquele que tem o menor expoente possível e a menor mantissa não nula. Como o expoente mínimo é -1, e a mantissa tem 3 bits, a menor mantissa não nula seria 1 times 2^-2 (já que temos 3 bits, a precisão é até 2^-2).
Portanto, o menor positivo exatamente representável é:
2^-1 times 2^-2 = 2^-3 = 0,125

Passo 3

Agora, vamos determinar o maior positivo exatamente representável.
Para isso, usamos o maior expoente possível, que é 2, e a maior mantissa possível com 3 bits. A maior mantissa com 3 bits é 1,11 em binário, que corresponde a 1 + 12 + 14 = 1,75 em decimal.
Multiplicando isso pelo maior expoente:
1,75 times 2^2 = 1,75 times 4 = 7
Então, o maior positivo exatamente representável é 7.

Passo 4

Vamos calcular a quantidade de positivos exatamente representáveis.
Temos:
  • Expoentes possíveis: -1, 0, 1, 2 (total de 4 expoentes).
  • Mantissas possíveis com 3 bits: 2^3 = 8 combinações, mas como o primeiro bit é sempre 1 (para números normalizados), temos 4 mantissas distintas (de 1,00 a 1,11).
Multiplicando as combinações de expoente e mantissa:
4 expoentes times 4 mantissas = 16 números positivos ú

Passo 5

Por fim, vamos ver a quantidade total de números representáveis no sistema SPF (3,2,-1,2).
Considerando que para cada número positivo há um correspondente negativo, além do zero, temos:
16 positivos + 16 negativos + 1 zero = 33 números representáveis úá

Resposta

a) O menor positivo exatamente representável é 0,125.
b) O maior positivo exatamente representável é 7.
c) A quantidade de positivos exatamente representáveis é 16.
d) A quantidade total de números representáveis é 33.

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