Considere o sistema x^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-1 & -4 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) x.
Polinômio característico: (-1-\lambda)^{2}-(-4)(1)=0 \Longrightarrow(\lambda+1)^{2}=-4 \Longrightarrow \lambda=-1 \pm 2 i. Considerando \lambda_{1}=-1+2 i, determinamos o autovetor w :
(A-(-1+2 i) I) w=0 \Longrightarrow\left(\begin{array}{cc} -2 i & -4 \\\\ 1 & -2 i \end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{0}{0}
Da segunda linha: x-2 i y=0 \Longrightarrow x=2 i y. Escolhendo y=1, temos w=\binom{2 i}{1}. A solução complexa é dada por:
x_{c}(t)=e^{(-1+2 i) t}\binom{2 i}{1}
Utilizando a fórmula de Euler e^{(-1+2 i) t}=e^{-t}(\cos (2 t)+i \sin (2 t)) e decompondo o vetor w :
x_{c}(t)=e^{-t}(\cos (2 t)+i \sin (2 t))\left[\binom{0}{1}+i\binom{2}{0}\right]
Efetuando a multiplicação e separando as partes real e imaginária:
x_{c}(t)=e^{-t}\left[\left(\cos (2 t)\binom{0}{1}-\sin (2 t)\binom{2}{0}\right)+i\left(\sin (2 t)\binom{0}{1}+\cos (2 t)\binom{2}{0}\right)\right]
Definimos u(t)=\operatorname{Re}\left(x_{c}(t)\right) e v(t)=\operatorname{Im}\left(x_{c}(t)\right) :
u(t)=e^{-t}\binom{-2 \sin (2 t)}{\cos (2 t)}, \quad v(t)=e^{-t}\binom{2 \cos (2 t)}{\sin (2 t)}
A solução geral real é dada por x(t)=c_{1} u(t)+c_{2} v(t) :
x(t)=c_{1} e^{-t}\binom{-2 \sin (2 t)}{\cos (2 t)}+c_{2} e^{-t}\binom{2 \cos (2 t)}{\sin (2 t)}
Comportamento: Como a parte real do autovalor é negativa (-1), x(t) \rightarrow 0 quando t \rightarrow \infty. A origem é um Foco Estável (Espiral Atratora).

b) Método da Variação dos Parâmetros (Solução Particular)

Deseja-se resolver x^{\prime}=A x+\binom{2}{3} e^{t}. Supomos uma solução particular da forma x_{p}(t)= \mathbf{v} e^{t}, onde \mathbf{v} é um vetor constante. Substituindo na equação:
\mathbf{v} e^{t}=A \mathbf{v} e^{t}+\binom{2}{3} e^{t}
Dividindo por e^{t} :
(I-A) \mathbf{v}=\binom{2}{3}
Calculando (I-A) :
\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} -1 & -4 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 4 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right)
Resolvendo o sistema \left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ -1 & 2\end{array}\right)\binom{a}{b}=\binom{2}{3} :
\left\{\begin{array}{l} 2 a+4 b=2 \\\\ -a+2 b=3 \end{array} \Longrightarrow a+2 b=1\right.
Somando as equações: (a-a)+(2 b+2 b)=1+3 \Longrightarrow 4 b=4 \Longrightarrow b=1. Substituindo para encontrar a: a+2(1)=1 \Longrightarrow a=-1. A solução particular é x_{p}(t)=\binom{-1}{1} e^{t}.
A solução geral do sistema não homogêneo é:
x(t)=c_{1} e^{-t}\binom{-2 \sin (2 t)}{\cos (2 t)}+c_{2} e^{-t}\binom{2 \cos (2 t)}{\sin (2 t)}+\binom{-1}{1} e^{t}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Matriz do sistema:
A=\begin{pmatrix}-1 & -4\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}
  • Sistema homogêneo a estudar: \,x'=A x.
  • Polinômio característico (já calculado no enunciado) dá os autovalores
\lambda_{1,2}=-1\pm 2i.
  • Perguntas:
    1. Achar a solução geral real do sistema homogêneo \,x'=Ax.
    2. Classificar o comportamento da origem (estável/instável, nó/foco/sela etc.).
    3. (Parte b) Encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo
    x'=A x+\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}e^{t}e escrever a solução geral do sistema não homogêneo.]

Passo 2

Encontrar um autovetor complexo associado a \lambda_1=-1+2i.
  • Resolver (A-\lambda_1 I)w=0. Escrevendo a matriz:
A-( -1+2i)I=\begin{pmatrix}-1 & -4\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}-(-1+2i)\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1+1-2i & -4\\[4pt]1 & -1+1-2i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2i & -4\\[4pt]1 & -2i\end{pmatrix}.
  • Escrevendo w=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, a segunda linha dá
x-2i y=0 \quad\Rightarrow\quad x=2i y.
  • Posso escolher y=1 (qualquer múltiplo não nulo serve), então um autovetor é
w=\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Comentário rápido: escolher y=1 é só fixar uma escala do autovetor; autovetores podem ser multiplicados por escalares complexos sem problema.]

Passo 3

Escrever a solução complexa e separar em parte real e imaginária.
  • A solução complexa associada a \lambda_1 é
x_c(t)=e^{\lambda_1 t}w=e^{(-1+2i)t}\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Usar a fórmula de Euler para separar exponencial real e os senos/cossenos:
e^{(-1+2i)t}=e^{-t}(\cos(2t)+i\sin(2t)).
  • Escrever o autovetor como soma de parte real e imaginária:
\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Multiplicando tudo:
x_c(t)=e^{-t}(\cos(2t)+i\sin(2t))\Big(\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}\Big).]

Passo 4

Fazer a multiplicação e separar as partes real e imaginária explicitamente (cálculo componente a componente).
  • Produto do escalar complexo com o vetor complexo. Use a regra (\alpha+i\beta)(u+i v)=(\alpha u-\beta v)+i(\beta u+\alpha v), onde aqui \alpha=\cos(2t),\\ \beta=\sin(2t),\\ u=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\\ v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Calculando a parte real:
\operatorname{Re}(x_c(t))=e^{-t}\big(\cos(2t)\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}-\sin(2t)\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}\big) =e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix}.
  • Calculando a parte imaginária:
\operatorname{Im}(x_c(t))=e^{-t}\big(\sin(2t)\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}+\cos(2t)\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}\big) =e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[4pt]\sin(2t)\end{pmatrix}.]

Passo 5

Explicar por que as partes real e imaginária formam uma base de soluções reais e montar a solução geral do homogêneo.
  • Teoria útil (concreto): se \lambda=a+bi é autovalor com autovetor complexo w, então \operatorname{Re}(e^{\lambda t}w) e \operatorname{Im}(e^{\lambda t}w) são duas soluções reais independentes do sistema real \,x'=Ax.
  • Aqui definimos
u(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix},\qquad v(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[4pt]\sin(2t)\end{pmatrix}.
  • Verificação rápida de independência: por exemplo, em t=0 temos u(0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} e v(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}, vetores linearmente independentes, então u(t) e v(t) são uma base de soluções.
  • Portanto a solução geral do homogêneo é
x_h(t)=c_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix}+c_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[4pt]\sin(2t)\end{pmatrix},
onde c_{1},c_{2}\in\mathbb{R} são constantes determinadas por condições iniciais.]

Passo 6

Classificação do ponto de equilíbrio na origem (comportamento assintótico).
  • Regra prática: para o sistema linear \,x'=Ax, os autovalores de A determinam o comportamento:
    • Se todas as partes reais forem negativas \Rightarrow origem assintoticamente estável.
    • Se existirem partes reais positivas \Rightarrow instável.
    • Se houver par complexo com parte real negativa \Rightarrow foco (espiral) atraente.
  • Aqui as partes reais dos autovalores são -1 (negativas), e são complexos conjugados -1\pm 2i. Logo a origem é um foco estável (espiral atratora): as trajetórias giram com frequência angular 2 (período aproximado \pi) e decaem exponencialmente com fator e^{-t}.

Passo 7

Resolver o sistema não homogêneo por método de coeficientes indeterminados (o enunciado chamou variação de parâmetros, mas a técnica usada é o caso simples de procurar uma solução da forma \mathbf{v}e^{t}).
  • Forçamento: f(t)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}e^{t}. Técnica adequada: tentar uma solução particular da forma \,x_p(t)=\mathbf{v}_p e^{t} com \mathbf{v}_p vetor constante — válida se 1 não é autovalor de A.
  • Checar ressonância: os autovalores de A são -1\pm 2i, portanto \lambda=1 (do termo e^{t}) NÃO é autovalor de A. Logo a forma \mathbf{v}_p e^{t} é apropriada.
  • Substituindo x_p(t)=\mathbf{v}_p e^{t} em x'=Ax+f(t) e cancelando e^{t} obtemos
\mathbf{v}_p = A\mathbf{v}_p + \begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad (I-A)\mathbf{v}_p=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Calcular I-A:
I-A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&-4\\[4pt]1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&4\\[4pt]-1&2\end{pmatrix}.
  • Resolver o sistema linear
\begin{pmatrix}2&4\\[4pt]-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações:
2a+4b=2,\qquad -a+2b=3.
  • Simplificando a primeira: a+2b=1. Agora somando essa com a segunda equação (escrita como -a+2b=3) obtemos
(a-a)+(2b+2b)=1+3 \quad\Rightarrow\quad 4b=4 \quad\Rightarrow\quad b=1.
  • Substituindo em a+2b=1:
a+2(1)=1 \quad\Rightarrow\quad a=-1.
  • Logo \mathbf{v}_p=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} e a solução particular é
x_p(t)=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{t}.]

Passo 8

Escrever a solução geral do sistema não homogêneo e fazer um comentário final.
  • A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da solução geral do homogêneo com uma solução particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t).
  • Substituindo as expressões encontradas:
x(t)=c_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix} +c_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[4pt]\sin(2t)\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{t},
com c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}.
  • Comentário de interpretação: as componentes associadas a e^{-t} decaem para 0 (movimento em espiral atraente), enquanto o termo particular \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{t} cresce exponencialmente (pois tem e^{t}), portanto soluções gerais do não homogêneo tenderão a crescer como e^{t} para t\to\infty — o termo forçante domina o comportamento assintótico do sistema não homogêneo.]

Resposta

x_h(t)=c_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix}+c_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[4pt]\sin(2t)\end{pmatrix}.
A origem é um foco estável (espiral atratora), pois os autovalores são -1\pm2i com parte real -1<0.
x(t)=c_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix}+c_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[4pt]\sin(2t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{t}.]

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