Considere o sistema x^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-1 & -4 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) x.
Polinômio característico: (-1-\lambda)^{2}-(-4)(1)=0 \Longrightarrow(\lambda+1)^{2}=-4 \Longrightarrow \lambda=-1 \pm 2 i. Considerando \lambda_{1}=-1+2 i, determinamos o autovetor w :
(A-(-1+2 i) I) w=0 \Longrightarrow\left(\begin{array}{cc} -2 i & -4 \\\\ 1 & -2 i \end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{0}{0}
Da segunda linha: x-2 i y=0 \Longrightarrow x=2 i y. Escolhendo y=1, temos w=\binom{2 i}{1}. A solução complexa é dada por:
x_{c}(t)=e^{(-1+2 i) t}\binom{2 i}{1}
Utilizando a fórmula de Euler e^{(-1+2 i) t}=e^{-t}(\cos (2 t)+i \sin (2 t)) e decompondo o vetor w :
Comportamento: Como a parte real do autovalor é negativa (-1), x(t) \rightarrow 0 quando t \rightarrow \infty. A origem é um Foco Estável (Espiral Atratora).
b) Método da Variação dos Parâmetros (Solução Particular)
Deseja-se resolver x^{\prime}=A x+\binom{2}{3} e^{t}. Supomos uma solução particular da forma x_{p}(t)= \mathbf{v} e^{t}, onde \mathbf{v} é um vetor constante. Substituindo na equação:
Fazer a multiplicação e separar as partes real e imaginária explicitamente (cálculo componente a componente).
Produto do escalar complexo com o vetor complexo. Use a regra (\alpha+i\beta)(u+i v)=(\alpha u-\beta v)+i(\beta u+\alpha v), onde aqui \alpha=\cos(2t),\\ \beta=\sin(2t),\\ u=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\\ v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Explicar por que as partes real e imaginária formam uma base de soluções reais e montar a solução geral do homogêneo.
Teoria útil (concreto): se \lambda=a+bi é autovalor com autovetor complexo w, então \operatorname{Re}(e^{\lambda t}w) e \operatorname{Im}(e^{\lambda t}w) são duas soluções reais independentes do sistema real \,x'=Ax.
Verificação rápida de independência: por exemplo, em t=0 temos u(0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} e v(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}, vetores linearmente independentes, então u(t) e v(t) são uma base de soluções.
onde c_{1},c_{2}\in\mathbb{R} são constantes determinadas por condições iniciais.]
Passo 6
Classificação do ponto de equilíbrio na origem (comportamento assintótico).
Regra prática: para o sistema linear \,x'=Ax, os autovalores de A determinam o comportamento:
Se todas as partes reais forem negativas \Rightarrow origem assintoticamente estável.
Se existirem partes reais positivas \Rightarrow instável.
Se houver par complexo com parte real negativa \Rightarrow foco (espiral) atraente.
Aqui as partes reais dos autovalores são -1 (negativas), e são complexos conjugados -1\pm 2i. Logo a origem é um foco estável (espiral atratora): as trajetórias giram com frequência angular 2 (período aproximado \pi) e decaem exponencialmente com fator e^{-t}.
Passo 7
Resolver o sistema não homogêneo por método de coeficientes indeterminados (o enunciado chamou variação de parâmetros, mas a técnica usada é o caso simples de procurar uma solução da forma \mathbf{v}e^{t}).
Forçamento: f(t)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}e^{t}. Técnica adequada: tentar uma solução particular da forma \,x_p(t)=\mathbf{v}_p e^{t} com \mathbf{v}_p vetor constante — válida se 1 não é autovalor de A.
Checar ressonância: os autovalores de A são -1\pm 2i, portanto \lambda=1 (do termo e^{t}) NÃO é autovalor de A. Logo a forma \mathbf{v}_p e^{t} é apropriada.
Substituindo x_p(t)=\mathbf{v}_p e^{t} em x'=Ax+f(t) e cancelando e^{t} obtemos
Comentário de interpretação: as componentes associadas a e^{-t} decaem para 0 (movimento em espiral atraente), enquanto o termo particular \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{t} cresce exponencialmente (pois tem e^{t}), portanto soluções gerais do não homogêneo tenderão a crescer como e^{t} para t\to\infty — o termo forçante domina o comportamento assintótico do sistema não homogêneo.]