Considere o sistema X^{\prime}(t)=A X(t) onde A=\left(\begin{array}{rr}-3 & 2 \\\\ -1 & -1\end{array}\right).
(a) Mostre que X_{1}(t)=\binom{\cos t+\operatorname{sen} t}{\cos t} e^{-2 t} e X_{2}(t)=\binom{\operatorname{sen} t-\cos t}{\operatorname{sen} t} e^{-2 t} são soluções L.I. do sistema X^{\prime}(t)=A X(t).
(b) Determine a solução geral do sistema X^{\prime}(t)=A X(t).
então X_{2}(t)=w(t)e^{-2t}. Fazendo a mesma conta de produto e comparando com A\,w(t), conclui-se que
X_{2}'(t)=A\,X_{2}(t).
(Os cálculos são análogos aos do Passo 2.)
Passo 4
Para ver que X_{1} e X_{2} são linearmente independentes, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são X_{1}(t) e X_{2}(t). Como o fator e^{-2t} aparece em ambas as colunas, ele sai em fator e^{-4t}. O determinante interno é
\det\begin{pmatrix}\cos t+\sin t & \sin t-\cos t\\\ \cos t & \sin t\end{pmatrix} =(\cos t+\sin t)\sin t-(\sin t-\cos t)\cos t =\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.