Considere o sistema X^{\prime}(t)=A X(t) onde A=\left(\begin{array}{rr}-3 & 2 \\\\ -1 & -1\end{array}\right).
(a) Mostre que X_{1}(t)=\binom{\cos t+\operatorname{sen} t}{\cos t} e^{-2 t} e X_{2}(t)=\binom{\operatorname{sen} t-\cos t}{\operatorname{sen} t} e^{-2 t} são soluções L.I. do sistema X^{\prime}(t)=A X(t).
(b) Determine a solução geral do sistema X^{\prime}(t)=A X(t).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
X'(t)=A\,X(t),\quad A=\begin{pmatrix}-3 & 2\\\ -1 & -1\end{pmatrix},
e aponta duas funções
X_{1}(t)=\begin{pmatrix}\cos t+\sin t\\cos t\end{pmatrix}e^{-2t},\quad X_{2}(t)=\begin{pmatrix}\sin t-\cos t\\sin t\end{pmatrix}e^{-2t},
que devemos verificar serem soluções linearmente independentes. Depois, com elas, construiremos a solução geral.

Passo 2

Mostramos que X_{1}(t) satisfaz X' = A\,X. Defina
v(t)=\begin{pmatrix}\cos t+\sin t\\cos t\end{pmatrix},
então X_{1}(t)=v(t)e^{-2t}. Por produto,
X_{1}'(t)=v'(t)e^{-2t}-2\,v(t)e^{-2t}.
Como v'(t)=\bigl(-\sin t+\cos t,\;- \sin t\bigr)^{T}, obtemos
X_{1}'(t) =e^{-2t}\begin{pmatrix} -\sin t+\cos t\\\\ - \sin t \end{pmatrix} -2e^{-2t}\begin{pmatrix} \cos t+\sin t\\\ \cos t \end{pmatrix} =e^{-2t}\begin{pmatrix} -\sin t+\cos t-2\cos t-2\sin t\\\\ - \sin t-2\cos t \end{pmatrix}.
Por outro lado,
A\,v(t) =\begin{pmatrix}-3 & 2\\\ -1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos t+\sin t\\cos t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\cos t-3\sin t+2\cos t\\\\ -(\cos t+\sin t)-\cos t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\cos t-3\sin t\\\ -2\cos t-\sin t\end{pmatrix}
que coincide com o vetor dentro de parênteses em X_{1}'(t). Logo
X_{1}'(t)=A\,X_{1}(t).

Passo 3

Analogamente para X_{2}(t), defina
w(t)=\begin{pmatrix}\sin t-\cos t\\sin t\end{pmatrix},
então X_{2}(t)=w(t)e^{-2t}. Fazendo a mesma conta de produto e comparando com A\,w(t), conclui-se que
X_{2}'(t)=A\,X_{2}(t).
(Os cálculos são análogos aos do Passo 2.)

Passo 4

Para ver que X_{1} e X_{2} são linearmente independentes, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são X_{1}(t) e X_{2}(t). Como o fator e^{-2t} aparece em ambas as colunas, ele sai em fator e^{-4t}. O determinante interno é
\det\begin{pmatrix}\cos t+\sin t & \sin t-\cos t\\\ \cos t & \sin t\end{pmatrix} =(\cos t+\sin t)\sin t-(\sin t-\cos t)\cos t =\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Assim, \det[X_{1},X_{2}]=e^{-4t}\neq0, garantindo independência linear.

Passo 5

Como X_{1} e X_{2} formam um sistema fundamental de soluções, a solução geral é
X(t)=C_{1}\,X_{1}(t)+C_{2}\,X_{2}(t),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral do sistema é
X(t)=C_{1}\begin{pmatrix}\cos t+\sin t\\cos t\end{pmatrix}e^{-2t} + C_{2}\begin{pmatrix}\sin t-\cos t\\sin t\end{pmatrix}e^{-2t}.

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