Determine a solução geral da equação diferencial ordinária
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é a combinação da solução da parte homogênea com uma solução particular da parte não homogênea, que podemos obter pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
Escrevendo a equação característica, temos
cuja solução é
Logo, a solução geral da homogênea é
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte não homogênea usamos o método dos coeficientes indeterminados. O termo forçante é
. Se fizéssemos a tentativa padrão
ela falharia porque
já é solução da homogênea. Para contornar, multiplicamos por
esta forma, isto é, assumimos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos
e
. Seja
, então
.
Chamando
, temos
Agora substituímos em
:
Isso deve ser igual a
.
Passo 5
Comparando coeficientes de
e termo constante em
temos o sistema
Da segunda equação
segue
.
Resolvendo em conjunto com , obtemos
Resolvendo em conjunto com
Portanto
Passo 6
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral é