Determine a solução geral da equação diferencial ordinária y^{\prime \prime}(t)-y(t)=(t+2) e^{t}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(t)-y(t)=(t+2)e^t.
O conteúdo aqui é a combinação da solução da parte homogênea com uma solução particular da parte não homogênea, que podemos obter pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y''(t)-y(t)=0.
Escrevendo a equação característica, temos
r^2-1=0
cuja solução é
r=\pm1.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1e^t+C_2e^{-t},
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte não homogênea usamos o método dos coeficientes indeterminados. O termo forçante é (t+2)e^t. Se fizéssemos a tentativa padrão
y_p(t)=(At+B)e^t,
ela falharia porque e^t já é solução da homogênea. Para contornar, multiplicamos por t esta forma, isto é, assumimos
y_p(t)=t\bigl(A t + B\bigr)e^t = \bigl(A t^2 + B t\bigr)e^t,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos y_p' e y_p''. Seja u(t)=A t^2+B t, então y_p=u\,e^t.
u'(t)=2At+B,
y_p'=u'e^t+u\,e^t=(2At+B + A t^2+B t)e^t=\bigl(A t^2+(2A+B)t+B\bigr)e^t.
Chamando v(t)=A t^2+(2A+B)t+B, temos
v'(t)=2At+(2A+B),
y_p''=(v'+v)e^t=\bigl(A t^2+(4A+B)t+(2A+2B)\bigr)e^t.
Agora substituímos em y''-y:
y_p''-y_p=\Bigl((4A+B)t+(2A+2B)\Bigr)e^t.
Isso deve ser igual a (t+2)e^t.

Passo 5

Comparando coeficientes de t e termo constante em
(4A+B)t+(2A+2B)=t+2,
temos o sistema
4A+B=1, \qquad 2A+2B=2.
Da segunda equação 2A+2B=2 segue A+B=1.
Resolvendo em conjunto com 4A+B=1, obtemos
A=\tfrac14, \quad B=\tfrac34.
Portanto
y_p(t)=\bigl(\tfrac14\,t^2+\tfrac34\,t\bigr)e^t.

Passo 6

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1e^t + C_2e^{-t} + \Bigl(\tfrac14\,t^2+\tfrac34\,t\Bigr)e^t.

Resposta

A solução geral é
y(t)=C_1e^t + C_2e^{-t} + \bigl(\tfrac14\,t^2+\tfrac34\,t\bigr)e^t.

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