(a) Transforme a e.d.o. y^{\prime \prime \prime}(t)-2 y^{\prime \prime}(t)-y^{\prime}(t)+2 y(t)=0 num sistema de equações diferenciais ordinárias de 1^{\circ} ordem.
(b) Determine a solução geral do sistema de equações diferenciais ordinárias obtido em (a).
(c) Usando o ítem (b) determine a solução geral da e.d.o. y^{\prime \prime \prime}(t)-2 y^{\prime \prime}(t)-y^{\prime}(t)+ 2 y(t)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y'''(t)-2\,y''(t)-y'(t)+2\,y(t)=0
e pede:
(a) reduzir essa e.d.o. a um sistema de equações de primeira ordem;
(b) resolver o sistema;
(c) a partir daí obter a solução geral de y(t).

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1}(t)=y(t),\quad x_{2}(t)=y'(t),\quad x_{3}(t)=y''(t).
Então
x_{1}'(t)=x_{2}(t),\quad x_{2}'(t)=x_{3}(t),
e da e.d.o. original temos
y'''(t)=2\,y''(t)+y'(t)-2\,y(t)
logo
x_{3}'(t)=2\,x_{3}(t)+x_{2}(t)-2\,x_{1}(t).
Em forma matricial \dot x=A\,x, com
x=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para resolver \dot x=A\,x procuramos autovalores r de A via
\det(A-rI)=0\;\Longrightarrow\; \det\begin{pmatrix} -r & 1 & 0\\\\ 0 & -r & 1\\\\ -2 & 1 & 2-r \end{pmatrix}=0.
Expandindo encontra-se o polinômio
r^{3}-2\,r^{2}-r+2=0
que fatoriza como
(r-2)(r-1)(r+1)=0.
Logo os autovalores são
r_{1}=2,\quad r_{2}=1,\quad r_{3}=-1.

Passo 4

Para cada r_{i} achamos um vetor próprio v^{(i)} resolvendo (A-r_{i}I)v=0:
  • Para r_{1}=2: v^{(1)}=(1,2,4)^{T}.
  • Para r_{2}=1: v^{(2)}=(1,1,1)^{T}.
  • Para r_{3}=-1: v^{(3)}=(1,-1,1)^{T}.
    Assim a solução geral do sistema é
x(t)=C_{1}\,v^{(1)}e^{2t}+C_{2}\,v^{(2)}e^{t}+C_{3}\,v^{(3)}e^{-t},
com constantes C_{1},C_{2},C_{3}.

Passo 5

Como y(t)=x_{1}(t) (a primeira componente de x), extraímos
y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{t}+C_{3}e^{-t}.

Resposta

(a) Definindo x_{1}=y, x_{2}=y', x_{3}=y'', o sistema é
\begin{cases} x_{1}'=x_{2},\\\ x_{2}'=x_{3},\\\ x_{3}'=2\,x_{3}+x_{2}-2\,x_{1}. \end{cases}
(b) A solução geral do sistema é
x(t)=C_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}e^{2t} + C_{2}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}e^{t} + C_{3}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}e^{-t}.
(c) A solução geral da e.d.o. original é
y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{t}+C_{3}e^{-t}.

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