Usando o método da variação de parâmetros determine a solução do Problema de Valor Inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}(t)+4 y^{\prime}(t)+4 y(t)=t^{\frac{5}{2}} e^{-2 t} \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via variação de parâmetros, o problema de valor inicial
\begin{cases} y''(t)+4y'(t)+4y(t)=t^{5/2}e^{-2t},\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0. \end{cases}
O conteúdo envolve encontrar a solução geral da homogênea, escolher uma base fundamental \{y_1,y_2\}, calcular o Wronskiano e depois as funções u_1,u_2 para montar a parte particular.

Passo 2

Resolvendo a homogênea y''+4y'+4y=0, a equação característica é
r^2+4r+4=(r+2)^2=0\implies r=-2\text{ (raiz dupla).}
Logo uma base de soluções é
y_1(t)=e^{-2t},\quad y_2(t)=t\,e^{-2t}.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(t)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'&y_2' \end{vmatrix} =e^{-2t}\bigl(e^{-2t}(1-2t)\bigr)-(-2e^{-2t})\bigl(t\,e^{-2t}\bigr) =e^{-4t}(1-2t+2t)=e^{-4t}.

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, escrevemos
u_1'=-\frac{y_2\,f}{W} =-\frac{t\,e^{-2t}\cdot t^{5/2}e^{-2t}}{e^{-4t}} =-t^{7/2}, \quad u_2'=\frac{y_1\,f}{W} =\frac{e^{-2t}\cdot t^{5/2}e^{-2t}}{e^{-4t}} =t^{5/2}.

Passo 5

Integramos para achar u_1,u_2:
u_1(t)=-\int t^{7/2}dt=-\frac{2}{9}\,t^{9/2}, \qquad u_2(t)=\int t^{5/2}dt=\frac{2}{7}\,t^{7/2}.

Passo 6

A parte particular é
y_p=u_1y_1+u_2y_2 =-\tfrac{2}{9}t^{9/2}e^{-2t}+\tfrac{2}{7}t^{7/2}\cdot t\,e^{-2t} =\frac{4}{63}\,t^{9/2}e^{-2t}.
Assim a solução geral é
y(t)=c_1e^{-2t}+c_2\,t\,e^{-2t}+\frac{4}{63}t^{9/2}e^{-2t}.

Passo 7

Impondo y(0)=0 e y'(0)=0 nota-se que t^{9/2}e^{-2t} e suas derivadas valem zero em t=0, de modo que c_1=0 e c_2=0. Logo
y(t)=\frac{4}{63}\,t^{9/2}e^{-2t}.

Resposta

y(t)=\frac{4}{63}\,t^{\tfrac{9}{2}}e^{-2t}.

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